Funções Polinomiais e Racionais

12 Funções Polinomiais

Nos exercícios 1 - 10, encontre o grau, o termo principal, o coeficiente principal, o termo constante e o comportamento no infinito do polinômio.

1. $f(x) = 4-x-3x^2$

   resposta
   $f(x) = 4-x-3x^2$
   Grau 2
   Termo principal $-3x^{2}$
   Coeficiente principal $-3$
   Termo constante $4$
   Quando $x \rightarrow -\infty, \; f(x) \rightarrow -\infty$
   Quando $x \rightarrow \infty, \; f(x) \rightarrow -\infty$
   

2. $g(x) = 3x^5 - 2x^2 + x + 1$

   resposta
   $g(x) = 3x^5 - 2x^2 + x + 1$
   Grau 5
   Termo principal $3x^5$
   Coeficiente principal $3$
   Termo constante $1$
   Quando $x \rightarrow -\infty, \; g(x) \rightarrow -\infty$
   Quando $x \rightarrow \infty, \; g(x) \rightarrow \infty$
   

3. $q(r) = 1 - 16r^{4}$

   resposta
   $q(r) = 1 - 16r^{4}$
   Grau 4
   Termo principal $-16r^{4}$
   Coeficiente principal $-16$
   Termo constante $1$
   Quando $r \rightarrow -\infty, \; q(r) \rightarrow -\infty$
   Quando $r \rightarrow \infty, \; q(r) \rightarrow -\infty$
   

4. $Z(b) = 42b - b^{3}$

   resposta
   $Z(b) = 42b - b^{3}$
   Grau 3
   Termo principal $-b^{3}$
   Coeficiente principal $-1$
   Termo constante $0$
   Quando $b \rightarrow -\infty, \; Z(b) \rightarrow \infty$
   Quando $b \rightarrow \infty, \; Z(b) \rightarrow -\infty$
   

5. $f(x) = \sqrt{3}x^{17} + 22.5x^{10} - \pi x^{7} + \frac{1}{3}$

   resposta
   $f(x) = \sqrt{3}x^{17} + 22.5x^{10} - \pi x^{7} + \frac{1}{3}$
   Grau 17
   Termo principal $\sqrt{3}x^{17}$
   Coeficiente principal $\sqrt{3}$
   Termo constante $\frac{1}{3}$
   Quando $x \rightarrow -\infty, \; f(x) \rightarrow -\infty$
   Quando $x \rightarrow \infty, \; f(x) \rightarrow \infty$
   

6. $s(t) = -4.9t^{2} + v_{\text{ $0$}}t + s_{\text{ $0$}}$

   resposta
   $s(t) = -4.9t^{2} + v_{\text{ $0$}}t + s_{\text{ $0$}}$
   Grau 2
   Termo principal $-4.9t^{2}$
   Coeficiente principal $-4.9$
   Termo constante $s_{\text{ $0$}}$
   Quando $t \rightarrow -\infty, \; s(t) \rightarrow -\infty$
   Quando $t \rightarrow \infty, \; s(t) \rightarrow -\infty$
   

7. $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$

   resposta
   $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$
   Grau 4
   Termo principal $x^{4}$
   Coeficiente principal $1$
   Termo constante $24$
   Quando $x \rightarrow -\infty, \; P(x) \rightarrow \infty$
   Quando $x \rightarrow \infty, \; P(x) \rightarrow \infty$
   

8. $p(t) = -t^2(3 - 5t)(t^{2} + t + 4)$

   resposta
   $p(t) = -t^2(3 - 5t)(t^{2} + t + 4)$
   Grau 5
   Termo principal $5t^{5}$
   Coeficiente principal $5$
   Termo constante $0$
   Quando $t \rightarrow -\infty, \; p(t) \rightarrow -\infty$
   Quando $t \rightarrow \infty, \; p(t) \rightarrow \infty$
   

9. $f(x) = -2x^3(x+1)(x+2)^2$

   resposta
   $f(x) = -2x^3(x+1)(x+2)^2$
   Grau 6
   Termo principal $-2x^{6}$
   Coeficiente principal $-2$
   Termo constante $0$
   Quando $x \rightarrow -\infty, \; f(x) \rightarrow -\infty$
   Quando $x \rightarrow \infty, \; f(x) \rightarrow -\infty$
   

10. $G(t) = 4(t-2)^2\left(t+\frac{1}{2}\right)$

    resposta
    $G(t) = 4(t-2)^2\left(t+\frac{1}{2}\right)$
    Grau 3
    Termo principal $4t^3$
    Coeficiente principal $4$
    Termo constante $8$
    Quando $t \rightarrow -\infty, \; G(t) \rightarrow -\infty$
    Quando $t \rightarrow \infty, \; G(t) \rightarrow \infty$
    

Nos exercícios 11 - 20, encontre os zeros reais do polinômio dado e suas correspondentes multiplicidades. Use essa informação juntamente com o estudo dos sinais para esboçar o gráfico do polinômio. Compare sua resposta com o resultado do GeoGebra.

11. $a(x) = x(x + 2)^{2}$

    resposta
    $a(x) = x(x + 2)^{2}$
    $x = 0$ multiplicidade 1
    $x = -2$ multiplicidade 2
    

    

12. $g(x) = x(x + 2)^{3}$

    resposta
    $g(x) = x(x + 2)^{3}$
    $x = 0$ multiplicidade 1
    $x = -2$ multiplicidade 3
    

    

13. $f(x) = -2(x-2)^2(x+1)$

    resposta
    $f(x) = -2(x-2)^2(x+1)$
    $x=2$ multiplicidade 2
    $x=-1$ multiplicidade 1
    

    

14. $g(x) = (2x+1)^2(x-3)$

    resposta
    $g(x) = (2x+1)^2(x-3)$
    $x=-\frac{1}{2}$ multiplicidade 2
    $x=3$ multiplicidade 1
    

    

15. $F(x) = x^{3}(x + 2)^{2}$

    resposta
    $F(x) = x^{3}(x + 2)^{2}$
    $x = 0$ multiplicidade 3
    $x = -2$ multiplicidade 2
    

    

16. $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$

    resposta
    $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$
    $x = 1$ multiplicidade 1
    $x = 2$ multiplicidade 1
    $x = 3$ multiplicidade 1
    $x = 4$ multiplicidade 1
    

    

17. $Q(x) = (x + 5)^{2}(x - 3)^{4}$

    resposta
    $Q(x) = (x + 5)^{2}(x - 3)^{4}$
    $x = -5$ multiplicidade 2
    $x = 3$ multiplicidade 4
    

    

18. $h(x) = x^2(x-2)^2(x+2)^2$

    resposta
    $f(x) = x^2(x-2)^2(x+2)^2$
    $x = -2$ multiplicidade 2
    $x = 0$ multiplicidade 2
    $x = 2$ multiplicidade 2
    

    

19. $H(t) = (3-t)(t^2+1)$

    resposta
    $H(t) = (3-t)\left(t^2+1\right)$
    $x =3$ multiplicidade 1
    

    

20. $Z(b) = b(42 - b^{2})$

    resposta
    $Z(b) = b(42 - b^{2})$
    $b = -\sqrt{42}$ multiplicidade 1
    $b = 0$ multiplicidade 1
    $b = \sqrt{42}$ multiplicidade 1
    

    

Nos exercícios 21 - 26, dado o par de funções $f$ e $g$, esboce o gráfico de $y=g(x)$ começando com o gráfico de $y = f(x)$ e aplicando transformações. Acompanhe o efeito das transformações sobre três pontos de sua escolha. Indique o domínio e a imagem de $g$.

21. $f(x) = x^3$, $g(x) = (x + 2)^{3} + 1$

    resposta
    $g(x) = (x + 2)^{3} + 1$
    domínio: $(-\infty, \infty)$
    imagem: $(-\infty, \infty)$
    

    

22. $f(x) = x^4$, $g(x) = (x + 2)^{4} + 1$

    resposta
    $g(x) = (x + 2)^{4} + 1$
    domínio: $(-\infty, \infty)$
    imagem: $[1, \infty)$
    

    

23. $f(x) = x^4$, $g(x) = 2 - 3(x - 1)^{4}$

    resposta
    $g(x) = 2 - 3(x - 1)^{4}$
    domínio: $(-\infty, \infty)$
    imagem: $(-\infty, 2]$
    

    

24. $f(x) = x^5$, $g(x) = -x^{5} - 3$

    resposta
    $g(x) = -x^{5} - 3$
    domínio: $(-\infty, \infty)$
    imagem: $(-\infty, \infty)$
    

    

25. $f(x) = x^5$, $g(x) = (x+1)^5+10$

    resposta
    $g(x) = (x+1)^5+10$
    domínio: $(-\infty, \infty)$
    imagem: $(-\infty, \infty)$
    

    

26. $f(x) = x^6$, $g(x) = 8-x^6$

    resposta
    $g(x) = 8-x^{6}$
    domínio: $(-\infty, \infty)$
    imagem: $(-\infty, 8]$
    

    

27. Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que $f(x) = x^{3} - 9x + 5$ tem um zero real em cada um dos seguintes intervalos: $[-4, -3], [0, 1]$ e $[2, 3]$.

    resposta
    Temos que $f(-4)=-23,\; f(-3)=5,\; f(0)=5,\; f(1)=-3,\; f(2)=-5\;$ e $f(3)=5$ portanto o Teorema do Valor Intermediário diz que $f(x) = x^{3} - 9x + 5$ tem zeros reais nos intervalos $[-4, -3], [0, 1]$ e $[2, 3]$.

28. Queremos fazer uma caixa sem tampa removendo quadrados de lado $x$ dos cantos de uma folha de papel de 8.5 por 11 polegadas. Expresse o volume $V$ em função de $x$. Use o GeoGebra para encontrar o valor de $x$ onde o volume é máximo e as dimensões e o volume da caixa de volume máximo.

    resposta
    $V(x) = x(8.5-2x)(11-2x) = 4x^3-39x^2+93.5x$, $0 < x < 4.25$. O volume é maximizado quando $x \approx 1.58$, portanto as dimensões da caixa com volume máximo são: altura $\approx$ 1.58 polegadas, largura $\approx$ 5.34 polegadas, e profundidade $\approx$ 7.84 polegadas. O volume máximo é $\approx$ 66.15 polegadas cúbicas.

Nos exercícios 29 - 31, suponha que a receita $R$, em milhares de dólares, da produção e venda de $x$ centenas de TVs de LED é dada por $R(x) = -5x^3+35x^2+155x$ para $0 \leq x \leq 10.07$.

29. Use o GeoGebra para traçar o gráfico de $y = R(x)$ e determine o número de TVs que devem ser vendidas para maximizar a receita. Qual é a receita máxima?

    resposta
    O máximo ocorre quando $x \approx 6.305$ e $y \approx 1115.417$. Uma vez que $x$ representa o número de TVs vendidas em centenas, $x = 6.305$ corresponde a $630.5$ TVs. Como não se pode vender meia TV, comparamos $R(6.30) \approx 1115.415$ e $R(6.31) \approx 1115.416$, portanto $631$ TVs resulta em uma receita ligeiramente maior. Como $y$ representa a receita em milhares de dólares, a receita máxima é $\$ 1,\!115,\!416$.

30. Assuma que o custo, em milhares de dólares, para produzir $x$ centenas de TVs de LED é dado por $C(x) = 200x + 25$ para $x \geq 0$. Encontre e simplifique a expressão para a função lucro $P(x)$. (Lembre-se: Lucro = Receita - Custo).

    resposta
    $P(x) = R(x) - C(x) = -5x^3+35x^2-45x-25$, $0 \leq x \leq 10.07$.

31. Use o GeoGebra para traçar o gráfico de $y = P(x)$ e determine o número de TVs que devem ser vendidas para maximizar o lucro. Qual é o lucro máximo?

    resposta
    O máximo ocorre quando $x \approx 3.897$ e $y \approx 35.255$. Uma vez que $x$ representa o número de TVs vendidas em centenas, $x = 3.897$ corresponde a $389.7$ TVs. Como não se pode vender $0.7$ de uma TV, comparamos $P(3.89) \approx 35.254$ e $P(3.90) \approx 35.255$, portanto $390$ TVs resulta em um lucro ligeiramente maior. Como $y$ representa o lucro em milhares de dólares, o lucro máximo é $\$ 35,\!255$.

32. O custo para se fabricar $x$ unidades de um console de jogos é dado por $C(x) = .03x^{3} - 4.5x^{2} + 225x + 250$, para $x \geq 0$. Pesquisas de mercado indicam que a função preço-demanda é dada por $p(x) = -1.5x + 250$. Use o GeoGebra para encontrar o nível de produção $x$ que maximiza o lucro.

    resposta
    Vender 71 consoles resulta em um lucro maximizado de \$5910.67.

33. De acordo com um serviço postal, uma caixa retangular para encomendas deve satisfazer a desigualdade “Comprimento + Perímetro $\leq$ 130 polegadas” para serviço expresso e “Comprimento + Perímetro $\leq$ 108 polegadas” para outros serviços. Vamos assumir que temos uma caixa de fundo quadrado de lado $x$ como desenhado abaixo. O comprimento é o maior lado e o perímetro é a distância em torno da caixa nas outras duas dimensões, de modo que no caso o perímetro é $4x$.

    1. Assumindo que vamos usar o serviço expresso, onde Comprimento + Perímetro $=$ 130 polegadas, expresse o comprimento da caixa em termos de $x$ e então expresse o volume $V$ da caixa em termos de $x$.

    2. Encontre as dimensões da caixa de maior volume que pode ser enviada pelo serviço expresso.

    3. Repita os itens 33 e 33 para o caso de se usar “outros serviços”.

    

    resposta

    1. $V(x) = x^{2}(130 - 4x) = -4x^{3} + 130x^{2}$.

    2. O máximo de $y = V(x)$ em $[0, 33] \times [0, 21000]$ ocorre em $(21.67, 20342.59)$, portanto as dimensões da caixa de volume máximo são $21.67\text{in.} \times 21.67\text{in.} \times 43.32\text{in.}$ para um volume de $20342.59\text{in.}^{3}$.

    3. $V(x) = -4x^{3} + 108x^{2}$. O máximo ocorre em $(18.00, 11664.00)$, portanto as dimensões da caixa de volume máximo são $18.00\text{in.} \times 18.00\text{in.} \times 36\text{in.}$ para um volume de $11664.00\text{in.}^{3}$.