Funções Polinomiais e Racionais

9 Função Modular

Resumo do capítulo

A função modular $f(x) = |x|$ tem gráfico em forma de V e serve de base para uma família de funções obtida por transformações. O capítulo também cobre a resolução algébrica de equações e inequações que envolvem valor absoluto, sempre dividindo em casos conforme o sinal da expressão dentro do módulo.

Nos exercícios 1 - 15, resolva a equação.

$|x| = 6$
resposta
$x = -6$ ou $x=6$
$|3x-1| = 10$
resposta
$x = -3$ ou $x= \frac{11}{3}$
$|4-x| = 7$
resposta
$x = -3$ ou $x= 11$

$4 - |x| = 3$
resposta
$x = -1$ ou $x= 1$
$2|5x+1| - 3 = 0$
resposta
$x=-\frac{1}{2}$ ou $x= \frac{1}{10}$
$|7x-1| + 2 = 0$
resposta
nenhuma solução

$\dfrac{5 - |x|}{2} = 1$
resposta
$x=-3$ ou $x= 3$
$\frac{2}{3} |5-2x| - \frac{1}{2} = 5$
resposta
$x = -\frac{13}{8}$ ou $x= \frac{53}{8}$
$|x| = x + 3$
resposta
$x=-\frac{3}{2}$

$|2x-1| = x+1$
resposta
$x=0$ ou $x= 2$
$4 - |x| = 2x+1$
resposta
$x=1$
$|x-4| = x-5$
resposta
nenhuma solução

$|x| = x^2$
resposta
$x=-1$, $x= 0$ ou $x= 1$
$|x| = 12 - x^2$
resposta
$x=-3$ ou $x=3$
$|x^2 - 1| = 3$
resposta
$x=-2$ ou $x=2$

Prove que se $|f(x)| = |g(x)|$ então ou $f(x) = g(x)$ ou $f(x) = -g(x)$. Use esse resultado para resolver as equações dos exercícios 16 - 21.

$|3x - 2| = |2x + 7|$
resposta
$x = -1$ ou $x = 9$
$|3x+1| = |4x|$
resposta
$x = -\frac{1}{7}$ ou $x = 1$
$|1-2x| = |x+1|$
resposta
$x = 0$ ou $x = 2$

$|4-x| - |x+2| = 0$
resposta
$x=1$
$|2-5x| = 5 |x+1|$
resposta
$x = -\frac{3}{10}$
$3|x-1| = 2|x+1|$
resposta
$x = \frac{1}{5}$ ou $x = 5$

Nos exercícios 22 - 33, esboce o gráfico das funções. Encontre os zeros de cada função e as interseções com os eixos $x$ e $y$, caso existam. Determine o domínio e a imagem de cada função, os intervalos onde a função é crescente, decrescente ou constante e encontre os extremos relativos e absolutos, caso existam.

$f(x) = |x + 4|$
resposta

$f(x) = |x + 4|$
$f(-4) = 0$
interseção com o eixo $x$ $(-4, 0)$
interseção com o eixo $y$ $(0, 4)$
Domínio $(-\infty, \infty)$
Imagem $[0, \infty)$
Decrescente em $(-\infty, -4]$
Crescente em $[-4, \infty)$
Mínimo relativo e absoluto em $(-4,0)$
Nenhum máximo relativo ou absoluto
$f(x) = |x| + 4$
resposta
$f(x) = |x| + 4$
Nenhum zero
Nenhuma interseção com o eixo $x$
interseção com o eixo $y$ $(0, 4)$
Domínio $(-\infty, \infty)$
Imagem $[4, \infty)$
Decrescente em $(-\infty, 0]$
Crescente em $[0, \infty)$
Mínimo relativo e absoluto em $(0, 4)$
Nenhum máximo relativo ou absoluto
$f(x) = |4x|$
resposta
$f(x) = |4x|$
$f(0) = 0$
interseção com o eixo $x$ $(0, 0)$
interseção com o eixo $y$ $(0, 0)$
Domínio $(-\infty, \infty)$
Imagem $[0, \infty)$
Decrescente em $(-\infty, 0]$
Crescente em $[0, \infty)$
Mínimo relativo e absoluto em $(0, 0)$
Nenhum máximo relativo ou absoluto

$f(x) = -3|x|$
resposta
$f(x) = -3|x|$
$f(0) = 0$
interseção com o eixo $x$ $(0, 0)$
interseção com o eixo $y$ $(0, 0)$
Domínio $(-\infty, \infty)$
Imagem $(-\infty, 0]$
Crescente em $(-\infty, 0]$
Decrescente em $[0, \infty)$
Máximo relativo e absoluto em $(0, 0)$
Nenhum mínimo relativo ou absoluto
$f(x) = 3|x + 4| - 4$
resposta
$f(x) = 3|x + 4| - 4$
$f\left(-\frac{16}{3}\right) = 0$, $f\left(-\frac{8}{3}\right) = 0$
interseções com o eixo $x$ $\left(-\frac{16}{3}, 0\right)$, $\left(-\frac{8}{3}, 0\right)$
interseção com o eixo $y$ $(0, 8)$
Domínio $(-\infty, \infty)$
Imagem $[-4, \infty)$
Decrescente em $(-\infty, -4]$
Crescente em $[-4, \infty)$
Mínimo relativo e absoluto em $(-4,-4)$
Nenhum máximo relativo ou absoluto
$f(x) = \dfrac{1}{3}|2x - 1|$
resposta
$f(x) = \frac{1}{3}|2x - 1|$
$f\left(\frac{1}{2}\right) = 0$
interseções com o eixo $x$ $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$
interseção com o eixo $y$ $\left(0, \frac{1}{3}\right)$
Domínio $(-\infty, \infty)$
Imagem $[0, \infty)$
Decrescente em $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$
Crescente em $\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$
Mínimo relativo e absoluto em $\left(\frac{1}{2},0\right)$
Nenhum máximo relativo ou absoluto

$f(x) = \dfrac{|x + 4|}{x + 4}$
resposta
$f(x) = \dfrac{|x + 4|}{x + 4}$
Nenhum zero
Nenhuma interseção com o eixo $x$
interseção com o eixo $y$ $(0, 1)$
Domínio $(-\infty, -4) \cup (-4, \infty)$
Imagem $\{-1, 1\}$
Constante em $(-\infty, -4)$
Constante em $(-4, \infty)$
Todo ponto $(x, -1)$ com $x < -4$ é mínimo absoluto
Todo ponto $(x, 1)$ com $x > -4$ é máximo absoluto
Todo ponto é máximo e mínimo relativo
$f(x) = \dfrac{|2 - x|}{2 - x}$
resposta
$f(x) = \dfrac{|2 - x|}{2 - x}$
Nenhum zero
Nenhuma interseção com o eixo $x$
interseção com o eixo $y$ $(0, 1)$
Domínio $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$
Imagem $\{-1, 1\}$
Constante em $(-\infty, 2)$
Constante em $(2, \infty)$
Todo ponto $(x, -1)$ com $x > 2$ é mínimo absoluto
Todo ponto $(x, 1)$ com $x < 2$ é máximo absoluto
Todo ponto do gráfico é máximo e mínimo relativo
$f(x) = x + |x| - 3$
resposta
Reescreva $f(x) = x+|x| - 3$ como
${\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -3 & \text{ se } & x < 0\\ 2x -3 & \text{ se } & x \geq 0 \\ \end{array} \right. }$
$f\left(\frac{3}{2}\right) = 0$
interseção com o eixo $x$ $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$
interseção com o eixo $y$ $(0,-3)$
Domínio $(-\infty, \infty)$
Imagem $[-3, \infty)$
Crescente em $[0,\infty)$
Constante em $(-\infty, 0]$
Todo ponto $(x,-3)$ com $x \leq 0$ é mínimo absoluto
Nenhum máximo absoluto
Todo ponto $(x, -3)$ com $x \leq 0$ é mínimo relativo
Todo ponto $(x, -3)$ com $x < 0$ é máximo relativo

$f(x) = |x+2| - x$
resposta
Reescreva $f(x) = |x+2| - x$ como
${\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -2x-2 & \text{ se } & x < -2\\ 2 & \text{ se } & x \geq -2 \\ \end{array} \right. }$
Nenhum zero
Nenhuma interseções com o eixo $x$
interseção com o eixo $y$ $(0,2)$
Domínio $(-\infty, \infty)$
Imagem $[2, \infty)$
Decrescente em $(-\infty, -2]$
Constante em$[-2,\infty)$
Todo ponto $(x,2)$ com $x \geq -2$ é mínimo absoluto
Nenhum máximo absoluto
Todo ponto $(x, 2)$ com $x \geq -2$ é mínimo relativo
Todo ponto $(x, 2)$ com $x > -2$ é máximo relativo
$f(x) = |x+2| - |x|$
resposta
Reescreva $f(x) = |x+2|-|x|$ como
${\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -2 & \text{ se } & x < -2\\ 2x+2 & \text{ se } & -2 \leq x < 0 \\ 2 & \text{ se } & x \geq 0 \\ \end{array} \right. }$
$f\left(-1\right) = 0$
interseção com o eixo $x$ $\left(-1, 0\right)$
interseção com o eixo $y$ $(0,2)$
Domínio $(-\infty, \infty)$
Imagem $[-2,2]$
Crescente em $[-2,0]$
Constante em $(-\infty, -2]$
Constante em $[0,\infty)$
Todo ponto $(x,-2)$ com $x \leq -2$ é mínimo absoluto
Todo ponto $(x,2)$ com $x \geq 0$ é máximo absoluto
Todo ponto $(x, -2)$ com $x \leq -2$ e todo ponto $(x,2)$ com $x>0$ é mínimo relativo
Todo ponto $(x, -2)$ com $x < -2$ e todo ponto $(x,2)$ com $x \geq 0$ é mínimo relativo
$f(x) = |x + 4| + |x - 2|$
resposta
Reescreva $f(x) = |x + 4| + |x - 2|$ como
${\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} -2x - 2 & \text{ se } & x < -4\\ 6 & \text{ se } & -4 \leq x < 2\\ 2x + 2 & \text{ se } & x \geq 2 \end{array} \right. }$
Nenhum zero
Nenhuma interseção com o eixo $x$
interseção com o eixo $y$ $(0, 6)$
Domínio $(-\infty, \infty)$
Imagem $[6, \infty)$
Decrescente em $(-\infty, -4]$
Constante em $[-4, 2]$
Crescente em $[2, \infty)$
Todo ponto $(x, 6)$ com $-4 \leq x \leq 2$ é mínimo absoluto
Nenhum máximo absoluto
Todo ponto $(x, 6)$ com $-4 \leq x \leq 2$ é mínimo relativo
Todo ponto $(x, 6)$ com $-4 < x < 2$ é máximo relativo

Com a ajuda de seus colegas, encontre a expressão da função que possui o gráfico dado abaixo.
resposta
$f(x) = ||x| - 4|$
Prove a Desigualdade Triangular: Para todos os números reais $a$ e $b,\;\;$ $|a+b| \leq |a| + |b|$.