Funções Polinomiais e Racionais

10 Funções Quadráticas

Nos exercícios 1 - 9, esboce o gráfico da função quadrática. Encontre as interseções com os eixos $x$ e $y$, caso existam. Converta da forma $f(x)=ax^2+bx+c$ para a forma $f(x)=a(x-d)^2+e$, e vice-versa. Encontre o domínio e a imagem da função e liste os intervalos onde a função é crescente ou decrescente. Identifique o vértice e os eixos de simetria e determine se o vértice é um máximo ou mínimo absoluto e relativo.

1. $f(x) = x^{2} + 2$

   resposta
   $f(x) = x^{2} + 2$ (está nas duas formas!)
   Nenhuma interseção com o eixo $x$
   interseção com o eixo $y$ $(0, 2)$
   Domínio: $(-\infty, \infty)$
   Imagem: $[2, \infty)$
   Decrescente em $(-\infty, 0]$
   Crescente em $[0, \infty)$
   Vértice $(0, 2)$ é um mínimo
   Eixo de simetria $x = 0$
   

   

2. $f(x) = -(x + 2)^{2}$

   resposta
   $f(x) = -(x + 2)^{2} = -x^2-4x-4$
   interseção com o eixo $x$ $(-2, 0)$
   interseção com o eixo $y$ $(0, -4)$
   Domínio: $(-\infty, \infty)$
   Imagem: $(-\infty, 0]$
   Crescente em $(-\infty, -2]$
   Decrescente em $[-2, \infty)$
   Vértice $(-2, 0)$ é um máximo
   Eixo de simetria $x = -2$
   

   

3. $f(x) = x^{2} - 2x - 8$

   resposta
   $f(x) = x^{2} - 2x - 8 = (x - 1)^{2} - 9$
   interseções com o eixo $x$ $(-2, 0)$ e $(4, 0)$
   interseção com o eixo $y$ $(0, -8)$
   Domínio: $(-\infty, \infty)$
   Imagem: $[-9, \infty)$
   Decrescente em $(-\infty, 1]$
   Crescente em $[1, \infty)$
   Vértice $(1, -9)$ é um mínimo
   Eixo de simetria $x = 1$
   

   

4. $f(x) = -2(x + 1)^{2} + 4$

   resposta
   $f(x) = -2(x + 1)^{2} + 4 = -2x^2-4x+2$
   interseções com o eixo $x$ { $(-1 - \sqrt{2}, 0)$ e $(-1 + \sqrt{2}, 0)$}
   interseção com o eixo $y$ $(0, 2)$
   Domínio: $(-\infty, \infty)$
   Imagem: $(-\infty, 4]$
   Crescente em $(-\infty, -1]$
   Decrescente em $[-1, \infty)$
   Vértice $(-1, 4)$ é um máximo
   Eixo de simetria $x = -1$
   

   

5. $f(x) = 2x^2 - 4x - 1$

   resposta
   $f(x) = 2x^2-4x-1 = 2(x-1)^2-3$
   interseções com o eixo $x$ { $\left(\frac{2-\sqrt{6}}{2}, 0\right)$ e $\left(\frac{2+\sqrt{6}}{2}, 0\right)$}
   interseção com o eixo $y$ $(0, -1)$
   Domínio: $(-\infty, \infty)$
   Imagem: $[-3, \infty)$
   Crescente em $[1,\infty)$
   Decrescente em $(-\infty,1]$
   Vértice $(1, -3)$ é um mínimo
   Eixo de simetria $x = 1$
   

   

6. $f(x) = -3x^{2} + 4x - 7$

   resposta
   $f(x) = -3x^{2} + 4x - 7 = -3\left(x - \frac{2}{3} \right)^{2} - \frac{17}{3}$
   Nenhuma interseção com o eixo $x$
   interseção com o eixo $y$ $(0, -7)$
   Domínio: $(-\infty, \infty)$
   Imagem: $\left(-\infty, -\frac{17}{3}\right]$
   Crescente em $\left(-\infty, \frac{2}{3}\right]$
   Decrescente em $\left[\frac{2}{3}, \infty\right)$
   Vértice $\left(\frac{2}{3}, -\frac{17}{3}\right)$ é um máximo
   Eixo de simetria $x = \frac{2}{3}$
   

   

7. $f(x) = x^2 + x + 1$

   resposta
   $f(x) = x^2+x+1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}$
   Nenhuma interseção com o eixo $x$
   interseção com o eixo $y$ $(0, 1)$
   Domínio: $(-\infty, \infty)$
   Imagem: $\left[ \frac{3}{4}, \infty\right)$
   Crescente em $\left[-\frac{1}{2}, \infty\right)$
   Decrescente em $\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right]$
   Vértice $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$ é um mínimo
   Eixo de simetria $x = -\frac{1}{2}$
   

   

8. $f(x) = -3x^2+5x+4$

   resposta
   $f(x) = -3x^2+5x+4 = -3\left(x-\frac{5}{6}\right)^2 + \frac{73}{12}$
   interseções com o eixo $x$ { $\left(\frac{5 - \sqrt{73}}{6}, 0\right)$ e $\left(\frac{5+\sqrt{73}}{6}, 0\right)$}
   interseção com o eixo $y$ $(0, 4)$
   Domínio: $(-\infty, \infty)$
   Imagem: $\left(-\infty, \frac{73}{12} \right]$
   Crescente em $\left(-\infty, \frac{5}{6}\right]$
   Decrescente em $\left[ \frac{5}{6}, \infty\right)$
   Vértice $\left(\frac{5}{6}, \frac{73}{12} \right)$ é um máximo
   Eixo de simetria $x = \frac{5}{6}$
   

   

9. $f(x) = x^{2} - \dfrac{1}{100} x - 1$

   resposta
   $f(x) = x^{2} - \frac{1}{100} x - 1 = \left(x - \frac{1}{200}\right)^{2} - \frac{40001}{40000}$
   interseções com o eixo $x$ $\left(\frac{1 + \sqrt{40001}}{200}\right)$ e $\left(\frac{1 - \sqrt{40001}}{200}\right)$
   interseção com o eixo $y$ $(0, -1)$
   Domínio: $(-\infty, \infty)$
   Imagem: $\left[-\frac{40001}{40000}, \infty \right)$
   Decrescente em $\left(-\infty, \frac{1}{200}\right]$
   Crescente em $\left[\frac{1}{200}, \infty \right)$
   Vértice $\left(\frac{1}{200}, -\frac{40001}{40000}\right)$ é um mínimo
   Eixo de simetria $x = \frac{1}{200}$
   

   

Nos exercícios 10 - 14, as funções custo e preço-demanda são dadas para cenários econômicos diferentes. Para cada cenário,

• Encontre a função lucro $P(x)=R(x)-C(x)=xp(x)-C(x)$.

• Encontre o número de itens que deve ser vendido a fim de maximizar o lucro.

• Encontre o lucro máximo.

• Encontre o preço a ser cobrado por item a fim de maximizar o lucro.

• Encontre e interprete pontos de “zero-a-zero”.

10. O custo em dólares para produzir $x$ camisetas “Prefiro ser um Mapinguari” é $C(x) = 2x+26$, $x \geq 0$ e a função preço-demanda é $p(x) = 30 - 2x$, $0 \leq x \leq 15$.

    resposta

    • $P(x) = -2x^2+28x-26$, para $0 \leq x \leq 15$.

    • $7$ camisetas devem ser vendidas para maximizar lucro.

    • O lucro máximo é $\$72$.

    • O preço por camiseta deve ser $\$16$ para maximizar lucro.

    • Os pontos de empate são $x=1$ e $x=13$, portanto para se ter lucro, devem ser vendidas entre 1 e 13 camisetas.

11. O custo em dólares para produzir $x$ garrafas de Guaraná Mapinguari é $C(x) = 10x+100$, $x \geq 0$ e a função preço-demanda é $p(x) = 35 - x$, $0 \leq x \leq 35$.

    resposta

    • $P(x) = -x^2+25x-100$, para $0 \leq x \leq 35$

    • Uma vez que o vértice ocorre em $x=12.5$, e é impossível vender $12.5$ garrafas de guaraná, o lucro máximo ocorre quando $12$ ou $13$ garrafas são vendidas.

    • O lucro máximo é $\$56$.

    • O preço por garrafa está entre $\$23$ (para vender 12 garrafas) ou $\$22$ (para vender 13 garrafas). Ambas resultaram no lucro máximo.

    • Os pontos de empate são $x=5$ e $x=20$, portanto para se ter lucro, devem ser vendidas entre 5 e 20 garrafas.

12. O custo em centavos de dólar para produzir $x$ copos de Limonada Mapinguari é $C(x) = 18x + 240$, $x \geq 0$ e a função preço-demanda é $p(x) = 90-3x$, $0 \leq x \leq 30$.

    resposta

    • $P(x) = -3x^2+72x-240$, para $0 \leq x \leq 30$

    • $12$ copos de limonada devem ser vendidos para maximizar o lucro.

    • O lucro máximo é $192$¢ \, ou $\$1.92$.

    • O preço por copo deve ser $54$¢ \, para maximizar o lucro.

    • Os pontos de empate são $x=4$ e $x=20$, portanto para se ter lucro, devem ser vendidos entre 4 e 20 copos de limonada.

13. O custo diário em dólares para produzir $x$ Tortas de Banana Mapinguari é $C(x) = 3x + 36$, $x \geq 0$ e a função preço-demanda é $p(x) = 12-0.5x$, $0 \leq x \leq 24$.

    resposta

    • $P(x) = -0.5 x^2+9x-36$, para $0 \leq x \leq 24$

    • $9$ tortas devem ser vendidas para maximizar o lucro diário.

    • O lucro diário máximo é $\$4.50$.

    • O preço por torta deve ser $\$7.50$ para maximizar o lucro.

    • Os pontos de empate são $x=6$ e $x=12$, portanto para se ter lucro, devem ser vendidas entre 6 e 12 tortas.

14. O custo mensal em centenas de dólares para produzir $x$ motocicletas elétricas é $C(x) = 20x + 1000$, $x \geq 0$ e a função preço-demanda é $p(x) = 140-2x$, $0 \leq x \leq 70$.

    resposta

    • $P(x) = -2x^2+120x-1000$, para $0 \leq x \leq 70$

    • $30$ motocicletas devem ser vendidas para maximizar o lucro.

    • O lucro máximo mensal é de $800$ centenas de dólares, ou $\$80,\!000$.

    • O preço por motocicleta deve ser $80$ centenas de dólares, ou $\$8000$.

    • Os pontos de empate são $x=10$ e $x=50$, portanto para se ter lucro, devem ser vendidas entre 10 e 50 motocicletas mensalmente.

15. A banda Cordas Submarinas angaria fundos para participar da Convenção Nacional de Mapinguaris vendendo biscoitos. O custo em dólares para cozinhar $x$ biscoitos é $C(x) = 0.1x + 25$ e a função preço-demanda é $p(x) = 10 - .01x.$ Quantos biscoitos eles devem cozinhar a fim de maximizar o lucro?

    resposta
    495 biscoitos

16. Usando dados do Agência de Estatísticas de Transporte, a economia média de combustível $F$ em milhas por galão por passageiro nos EUA pode ser modelada por $F(t) = -0.0076t^2+0.45t + 16$, $0 \leq t \leq 28$, onde $t$ é o número de anos desde $1980$. Encontre e interprete as coordenadas do vértice do gráfico de $y = F(t)$.

    resposta
    O vértice está (aproximadamente) em $(29.60, 22.66)$, que corresponde à uma economia máxima de combustível de 22.66 milhas por galão, atingida entre 2009 e 2010 (29 -- 30 após 1980). Infelizmente, o modelo só é válido até 2008 (28 anos após 1980).

17. A temperatura $T$, em graus Fahrenheit, $t$ horas após as 6 da manhã é dada por: \[ T(t) = -\frac{1}{2} t^2 + 8t+32, \quad 0 \leq t \leq 12\]

    Qual a temperatura mais quente do dia? Quando ela ocorre?

    resposta
    $64^{\circ}$ às 2 da tarde (8 horas após as 6 da manhã.)

18. Suponha que $C(x) = x^2-10x+27$ representa o custo, em centenas de dólares, para produzir $x$ milhares de canetas. Quantas canetas devem ser produzidas para minimizar o custo? Qual é o custo mínimo?

    resposta
    5000 canetas devem ser produzidas, a um custo de $\$200$.

19. Joãozinho quer plantar um jardim retangular ao lado de sua casa. Ele encontrou na garagem 32 pés lineares de arame. Uma vez que o jardim vai ficar colado à casa, um dos lados não precisa ser cercado. Quais as dimensões do jardim que maximizam sua área? Qual é a área máxima do jardim?

    resposta
    8 por 16 pés; área máxima é 128 pés quadrados.

20. José quer cercar um pasto retangular para criar alpacas. Se o total de arame disponível é de 200 pés lineares, quais as dimensões que do pasto que maximizam sua área? Assumindo que uma alpaca necessita de 25 pés quadrados de pasto, quantas alpacas ele pode criar?

    resposta
    50 por 50 pés; área máxima é 2500 pés quadrados; 100 alpacas.

21. Qual é a maior área retangular que pode ser delimitada com 14 polegadas de fio?

    resposta
    O maior retângulo tem área de $12.25$ polegadas quadradas.

22. A altura de um objeto solto do teto de um prédio de oito andares é modelada por $h(t) = -16t^2 + 64$, $0 \leq t \leq 2$. Quanto tempo leva para o objeto tocar o solo?

    resposta
    $2$ segundos.

23. A altura acima do solo $h$, em pés, de um foguete $t$ segundos após o lançamento é dada por $h(t) = -5t^2+100t$, para $0 \leq t \leq 20$. Quando o foguete atinge a altitude máxima? Qual é essa altitude máxima?

    resposta
    O foguete atinge sua altura máxima a $500$ pés em $10$ segundos após o lançamento.

24. Numa prova de lançamento de martelo, a altura $h$ do martelo $t$ segundos após o lançamento é dada por $h(t) = -16t^2 + 22.08t + 6$. Qual a altitude máxima do martelo? Qual o tempo total do martelo no ar? Aproxime suas respostas para duas casas decimais.

    resposta
    O martelo atinge sua altura máxima a $13.62$ pés aproximadamente. O martelo fica no ar aproximadamente $1.61$ segundos.

25. Assumindo que não há resistência do ar ou outras forças além da gravidade da Terra, a altura acima do solo no tempo $t$ de um objeto em queda livre é dada por $s(t) = -4.9t^{2} + v_{\text{ $0$}}t + s_{\text{ $0$}}$ onde $s$ está em metros, $t$ em segundos, $v_{\text{ $0$}}$ é a velocidade inicial do objeto em metros por segundo e $s_{\text{ $0$}}$ é a posição inicial em metros.

    1. Qual o domínio implícito dessa função?
    2. Discuta com seus colegas o que significam $v_{\text{ $0$}} > 0, \; v_{\text{ $0$}} = 0$ e $v_{\text{ $0$}} < 0$.
    3. Imagine um cenário em que $s_{\text{ $0$}} < 0$.
    4. Digamos que um estilingue é usado para atirar uma pedra diretamente para cima a partir do solo$(s_{\text{ $0$}} = 0)$ com uma velocidade inicial de 15 metros por segundo. Qual é a altitude máxima da pedra acima do solo? Em quanto tempo ela atinge o solo?
    5. Agora atire um pedra do topo de uma torre de 25 metros de altura. Em quanto tempo ela atinge o solo?
    6. Qual seria a função altura se, ao invés de atirar a pedra para cima, atirássemos para baixo do alto da torre?

    resposta

    1. O domínio implícito é $[0, \infty)$.

    2. A função altura neste caso é $s(t) = -4.9t^{2} + 15t$. O vértice da parábola está aproximadamente em $(1.53, 11.48)$ portanto a altura máxima alcançada pela pedra é $11.48$ metros. Ela atinge o solo de novo quando $t \approx 3.06$ segundos.

    3. A função altura é $s(t) = -4.9t^{2} + 15t + 25$ que possui zeros em $t \approx -1.20$ e $t \approx 4.26$. Ignorando o valor negativo, temos que a pedra atinge o solo em $4.26$ segundos.

    4. Atirar para baixo significa que a velocidade inicial é negativa portanto a função altura é $s(t) = -4.9t^{2} - 15t + 25$.

26. Duas torres de uma ponte estão a 400 pés de distância. O cabo parabólico que liga o topo das duas torres está 10 pés acima do ponto médio da ponte. Se as torres têm 100 pés de altura, encontre a altura do cabo a 50 pés à direita da torre do lado esquerdo.

    resposta
    Faça o vértice da parábola o ponto $(0, 10)$ de modo que o ponto no topo da torre esquerda está em $(-200, 100)$ e o ponto no topo da torre direita está em $(200, 100)$. Então a parábola é dada por $p(x) = \frac{9}{4000}x^{2} + 10$. Ficar $50$ pés à direita da torre esquerda significa que estamos em $x= -150$ e $p(-150) = 60.625$. Portanto o cabo está a 60.625 pés acima da ponte.

27. Esboce o gráfico de $f(x) = |1 - x^{2}|$

    resposta
    $y = |1 -x^{2}|$

    

28. Encontre todos os pontos da reta $y=1-x$ que estão a $2$ unidades de distância do ponto $(1,-1)$.

    resposta
    $\left(\dfrac{3 - \sqrt{7}}{2}, \dfrac{-1 + \sqrt{7}}{2} \right)$, $\left(\dfrac{3 + \sqrt{7}}{2}, \dfrac{-1 - \sqrt{7}}{2} \right)$

29. Seja $L$ a reta $y = 2x+1$. Encontre a função $D(x)$ que mede a distância ao quadrado de um ponto em $L$ ao ponto $(0,0)$. Use isso para encontrar o ponto em $L$ mais próximo de $(0,0)$.

    resposta
    $D(x) = x^2 + (2x+1)^2 = 5x^2+4x+1$, $D$ é minimizado quando $x=-\frac{2}{5}$, portanto o ponto em $y=2x+1$ mais próximo de $(0,0)$ é $\left(-\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right)$

30. Com a ajuda de seus colegas, mostre que se uma função quadrática $f(x) = ax^{2} + bx + c$ possui dois zeros reais então a coordenada $x$ do vértice é o ponto médio dos zeros.

Nos exercícios 31 - 36, resolva a equação quadrática para a variável indicada.

31. $x^{2} - 10y^{2} = 0$ para $x$

    resposta
    $x = \pm y\sqrt{10}$
32. $y^{2} - 4y = x^{2} - 4$ para $x$

    resposta
    $x = \pm (y - 2) $
33. $x^{2} - mx = 1$ para $x$

    resposta
    $x = \dfrac{m \pm \sqrt{m^{2} + 4}}{2}$

34. $y^{2} - 3y = 4x$ para $y$

    resposta
    $y = \dfrac{3 \pm \sqrt{16x + 9}}{2}$
35. $y^{2} - 4y = x^{2} - 4$ para $y$

    resposta
    $y = 2 \pm x$
36. $-gt^{2} + v_{\text{ $0$}}t + s_{\text{ $0$}} = 0$ para $t$ (Assuma que $g \neq 0$.)

    resposta
    $t = \dfrac{v_{\text{ $0$}} \pm \sqrt{v_{\text{ $0$}}^{2} + 4gs_{\text{ $0$}}}}{2g} $