Trigonometria

25 Ângulos

Resumo do capítulo

O capítulo introduz a medida de ângulos em graus e radianos, a conversão entre essas unidades, e as fórmulas de comprimento de arco e de velocidade angular e linear associadas ao movimento circular.

Nos Exercícios 1 a 4, converta os ângulos para o sistema GMS. Arredonde cada uma de suas respostas para o segundo mais próximo.

$63.75^{\circ}$
resposta
$63^{\circ} 45'$
$200.325^{\circ}$
resposta
$200^{\circ} 19' 30''$
$-317.06^{\circ}$
resposta
$-317^{\circ} 3' 36''$
$179.999^{\circ}$
resposta
$179^{\circ} 59' 56''$

Nos Exercícios 5 a 8, converta os ângulos para graus decimais. Arredonde cada uma de suas respostas para três casas decimais.

$125^{\circ} 50'$
resposta
$125.833^{\circ}$
$-32^{\circ} 10' 12''$
resposta
$-32.17^{\circ}$
$502^{\circ} 35'$
resposta
$502.583^{\circ}$
$237^{\circ} 58' 43''$
resposta
$237.979^{\circ}$

Nos Exercícios 9 a 28, represente graficamente o ângulo orientado em posição padrão. Classifique cada ângulo de acordo com onde se encontra o lado terminal e, em seguida, forneça dois ângulos côngruos, sendo um positivo e o outro negativo.

$330^{\circ}$
resposta
$330^{\circ}$ é um ângulo do Quadrante IV
côngruo a $690^{\circ}$ e $-30^{\circ}$
$-135^{\circ}$
resposta
$-135^{\circ}$ é um ângulo do Quadrante III
côngruo a $225^{\circ}$ e $-495^{\circ}$
$120^{\circ}$
resposta
$120^{\circ}$ é um ângulo do Quadrante II
côngruo a $480^{\circ}$ e $-240^{\circ}$
$405^{\circ}$
resposta
$405^{\circ}$ é um ângulo do Quadrante I
côngruo a $45^{\circ}$ e $-315^{\circ}$

$-270^{\circ}$
resposta
$-270^{\circ}$ está sobre o eixo $y$ positivo
côngruo a $90^{\circ}$ e $-630^{\circ}$
$\dfrac{5\pi}{6}$
resposta
$\dfrac{5\pi}{6}$ é um ângulo do Quadrante II
côngruo a $\dfrac{17\pi}{6}$ e $-\dfrac{7\pi}{6}$
$-\dfrac{11\pi}{3}$
resposta
$-\dfrac{11\pi}{3}$ é um ângulo do Quadrante I
côngruo a $\dfrac{\pi}{3}$ e $-\dfrac{5\pi}{3}$
$\dfrac{5\pi}{4}$
resposta
$\dfrac{5\pi}{4}$ é um ângulo do Quadrante III
côngruo a $\dfrac{13\pi}{4}$ e $-\dfrac{3\pi}{4}$

$\dfrac{3\pi}{4}$
resposta
$\dfrac{3\pi}{4}$ é um ângulo do Quadrante II
côngruo a $\dfrac{11\pi}{4}$ e $-\dfrac{5\pi}{4}$
$-\dfrac{\pi}{3}$
resposta
$-\dfrac{\pi}{3}$ é um ângulo do Quadrante IV
côngruo a $\dfrac{5\pi}{3}$ e $-\dfrac{7\pi}{3}$
$\dfrac{7\pi}{2}$
resposta
$\dfrac{7\pi}{2}$ está sobre o eixo $y$ negativo
côngruo a $\dfrac{3\pi}{2}$ e $-\dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{\pi}{4}$
resposta
$\dfrac{\pi}{4}$ é um ângulo do Quadrante I
côngruo a $\dfrac{9 \pi}{4}$ e $-\dfrac{7\pi}{4}$

$-\dfrac{\pi}{2}$
resposta
$-\dfrac{\pi}{2}$ está sobre o eixo $y$ negativo
côngruo a $\dfrac{3\pi}{2}$ e $-\dfrac{5\pi}{2}$
$\dfrac{7\pi}{6}$
resposta
$\dfrac{7\pi}{6}$ é um ângulo do Quadrante III
côngruo a $\dfrac{19 \pi}{6}$ e $-\dfrac{5\pi}{6}$
$-\dfrac{5\pi}{3}$
resposta
$-\dfrac{5\pi}{3}$ é um ângulo do Quadrante I
côngruo a $\dfrac{\pi}{3}$ e $-\dfrac{11\pi}{3}$
$3\pi$
resposta
$3\pi$ está sobre o eixo $x$ negativo
côngruo a $\pi$ e $-\pi$

$-2\pi$
resposta
$-2\pi$ está sobre o eixo $x$ positivo
côngruo a $2\pi$ e $-4\pi$
$-\dfrac{\pi}{4}$
resposta
$-\dfrac{\pi}{4}$ é um ângulo do Quadrante IV
côngruo a $\dfrac{7 \pi}{4}$ e $-\dfrac{9\pi}{4}$
$\dfrac{15\pi}{4}$
resposta
$\dfrac{15\pi}{4}$ é um ângulo do Quadrante IV
côngruo a $\dfrac{7\pi}{4}$ e $-\dfrac{\pi}{4}$
$-\dfrac{13\pi}{6}$
resposta
$-\dfrac{13\pi}{6}$ é um ângulo do Quadrante IV
côngruo a $\dfrac{11\pi}{6}$ e $-\dfrac{\pi}{6}$

Nos Exercícios 29 a 36, converta o ângulo da medida em graus para a medida em radianos, fornecendo o valor exato em termos de $\pi$.

$0^{\circ}$
resposta
$0$
$240^{\circ}$
resposta
$\dfrac{4\pi}{3}$
$135^{\circ}$
resposta
$\dfrac{3\pi}{4}$
$-270^{\circ}$
resposta
$-\dfrac{3\pi}{2}$

$-315^{\circ}$
resposta
$-\dfrac{7\pi}{4}$
$150^{\circ}$
resposta
$\dfrac{5\pi}{6}$
$45^{\circ}$
resposta
$\dfrac{\pi}{4}$
$-225^{\circ}$
resposta
$-\dfrac{5\pi}{4}$

Nos Exercícios 37 a 44, converta o ângulo da medida em radianos para a medida em graus.

$\pi$
resposta
$180^{\circ}$
$-\dfrac{2\pi}{3}$
resposta
$-120^{\circ}$
$\dfrac{7\pi}{6}$
resposta
$210^{\circ}$
$\dfrac{11\pi}{6}$
resposta
$330^{\circ}$

$\dfrac{\pi}{3}$
resposta
$60^{\circ}$
$\dfrac{5\pi}{3}$
resposta
$300^{\circ}$
$-\dfrac{\pi}{6}$
resposta
$-30^{\circ}$
$\dfrac{\pi}{2}$
resposta
$90^{\circ}$

Nos Exercícios 45 a 49, esboce o arco orientado na Circunferência Unitária que corresponde ao número real fornecido.

$t=\frac{5 \pi}{6}$
resposta
$t = \dfrac{5\pi}{6}$
$t=-\pi$
resposta
$t = -\pi$
$t = 6$
resposta
$t = 6$
$t = -2$
resposta
$t = -2$
$t = 12$
resposta
$t = 12$ (entre 1 e 2 revoluções)

Um ioiô com diâmetro de 2.25 polegadas gira a uma taxa de 4500 revoluções por minuto. Qual é a velocidade com que a borda do ioiô está girando em milhas por hora? Arredonde sua resposta para duas casas decimais.
resposta
Cerca de 30.12 milhas por hora
Quantas revoluções por minuto o ioiô do exercício 50 precisaria completar para que a borda do ioiô estivesse girando a uma taxa de 42 milhas por hora? Arredonde sua resposta para duas casas decimais.
resposta
Cerca de 6274.52 revoluções por minuto
No truque de ioiô 'Around the World', o artista lança o ioiô de modo que ele descreve um círculo vertical com raio igual ao da corda do ioiô. Se a corda do ioiô tem 28 polegadas de comprimento e o ioiô leva 3 segundos para completar uma revolução do círculo, calcule a velocidade do ioiô em milhas por hora. Arredonde sua resposta para duas casas decimais.
resposta
Cerca de 3.33 milhas por hora
Um disco rígido de computador contém um disco circular com diâmetro de 2.5 polegadas e gira a uma taxa de 7200 RPM (rotações por minuto). Encontre a velocidade linear de um ponto na borda do disco em milhas por hora.
resposta
Cerca de 53.55 milhas por hora
Uma pedra ficou presa na banda de rodagem do meu pneu e, quando eu estava dirigindo a 70 milhas por hora, a pedra soltou e atingiu a parte interna da lataria do carro. Qual era a velocidade, em milhas por hora, da pedra quando saiu da banda de rodagem? (O pneu tem um diâmetro de 23 polegadas.)
resposta
70 milhas por hora
A Roda Gigante no Cedar Point é um círculo com diâmetro de 128 pés que repousa em uma plataforma com altura de 8 pés, fazendo com que sua altura total seja de 136 pés. Ela completa duas revoluções em 2 minutos e 7 segundos. Supondo que os passageiros estejam na borda do círculo, qual é a velocidade deles em milhas por hora?
resposta
Cerca de 4.32 milhas por hora
Considere o círculo de raio $r$ ilustrado abaixo com ângulo central $\theta$, medido em radianos, e arco subtendido de comprimento $s$. Prove que a área do setor sombreado é $A = \frac{1}{2} r^{2} \theta$.
(Dica: Use a proporção $\frac{A}{\text{área do círculo}} = \frac{s}{\text{circunferência do círculo}}$.)

Nos Exercícios 57 a 62, use o resultado do Exercício 56 para calcular as áreas dos setores circulares com os ângulos centrais e raios dados.

$\theta = \dfrac{\pi}{6}, \; r = 12$
resposta
$12\pi$ unidades quadradas
$\theta = \dfrac{5\pi}{4}, \; r = 100$
resposta
$6250\pi$ unidades quadradas
$\theta = 330^{\circ}, \; r = 9.3$
resposta
$79.2825\pi \approx 249.07$ unidades quadradas

$\theta =\pi, \; r = 1$
resposta
$\dfrac{\pi}{2}$ unidades quadradas
$\theta = 240^{\circ}, \; r = 5$
resposta
$\dfrac{50\pi}{3}$ unidades quadradas
$\theta = 1^{\circ}, \; r = 117$
resposta
$38.025 \pi \approx 119.46$ unidades quadradas

Imagine uma corda amarrada ao redor da Terra no equador. Mostre que você só precisa adicionar $2\pi$ pés de comprimento à corda para levantá-la um pé acima do solo ao redor de todo o equador. (Você NÃO precisa saber o raio da Terra para mostrar isso.)
Com a ajuda de seus colegas de classe, procure uma prova de que $\pi$ é, de fato, uma constante.