Trigonometria

26 O Círculo Unitário

Nos Exercícios 1 a 20, encontre o valor exato do cosseno e do seno do ângulo dado.

1. $\theta = 0$

   resposta
   $\cos(0) = 1$, $\; \sin(0) = 0$

2. $\theta = \dfrac{\pi}{4}$

   resposta
   $\cos \left(\dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\; \sin \left(\dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

3. $\theta = \dfrac{\pi}{3}$

   resposta
   $\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$, $\; \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

4. $\theta = \dfrac{\pi}{2}$

   resposta
   $\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$, $\; \sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$

5. $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$

   resposta
   $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$, $\; \sin \left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

6. $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$

   resposta
   $\cos \left(\dfrac{3\pi}{4} \right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\; \sin \left(\dfrac{3\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

7. $\theta = \pi$

   resposta
   $\cos(\pi) = -1$, $\; \sin(\pi) = 0$

8. $\theta = \dfrac{7\pi}{6}$

   resposta
   $\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\; \sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}$

9. $\theta = \dfrac{5\pi}{4}$

   resposta
   $\cos \left(\dfrac{5\pi}{4} \right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\; \sin \left(\dfrac{5\pi}{4} \right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

10. $\theta = \dfrac{4\pi}{3}$

    resposta
    $\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$, $\; \sin \left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

11. $\theta = \dfrac{3\pi}{2}$

    resposta
    $\cos \left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0$, $\; \sin \left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = -1$

12. $\theta = \dfrac{5\pi}{3}$

    resposta
    $\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$, $\; \sin \left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

13. $\theta = \dfrac{7\pi}{4}$

    resposta
    $\cos \left(\dfrac{7\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\; \sin \left(\dfrac{7\pi}{4} \right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

14. $\theta = \dfrac{23\pi}{6}$

    resposta
    $\cos\left(\dfrac{23\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\; \sin\left(\dfrac{23\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}$

15. $\theta = -\dfrac{13\pi}{2}$

    resposta
    $\cos \left(-\dfrac{13\pi}{2}\right) = 0$, $\; \sin \left(-\dfrac{13\pi}{2}\right) = -1$

16. $\theta = -\dfrac{43\pi}{6}$

    resposta
    $\cos\left(-\dfrac{43\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\; \sin\left(-\dfrac{43\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$

17. $\theta = -\dfrac{3\pi}{4}$

    resposta
    $\cos \left(-\dfrac{3\pi}{4} \right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\; \sin \left(-\dfrac{3\pi}{4} \right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

18. $\theta = -\dfrac{\pi}{6}$

    resposta
    $\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\; \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}$

19. $\theta = \dfrac{10\pi}{3}$

    resposta
    $\cos\left(\dfrac{10\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$, $\; \sin \left(\dfrac{10\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

20. $\theta = 117\pi$

    resposta
    $\cos(117\pi) = -1$, $\; \sin(117\pi) = 0$

Nos Exercícios 21 a 30, utilize os resultados sobre redução ao primeiro quadrante para encontrar o valor solicitado.

21. Se $\sin(\theta) = -\dfrac{7}{25}$ com $\theta$ no Quadrante IV, qual é $\cos(\theta)$?

    resposta
    Se $\sin(\theta) = -\dfrac{7}{25}$ com $\theta$ no Quadrante IV, então $\cos(\theta) = \dfrac{24}{25}$.
22. Se $\cos(\theta) = \dfrac{4}{9}$ com $\theta$ no Quadrante I, qual é $\sin(\theta)$?

    resposta
    Se $\cos(\theta) = \dfrac{4}{9}$ com $\theta$ no Quadrante I, então $\sin(\theta) = \dfrac{\sqrt{65}}{9}$.
23. Se $\sin(\theta) = \dfrac{5}{13}$ com $\theta$ no Quadrante II, qual é $\cos(\theta)$?

    resposta
    Se $\sin(\theta) = \dfrac{5}{13}$ com $\theta$ no Quadrante II, então $\cos(\theta) = -\dfrac{12}{13}$.
24. Se $\cos(\theta) = -\dfrac{2}{11}$ com $\theta$ no Quadrante III, qual é $\sin(\theta)$?

    resposta
    Se $\cos(\theta) = -\dfrac{2}{11}$ com $\theta$ no Quadrante III, então $\sin(\theta) = -\dfrac{\sqrt{117}}{11}$.
25. Se $\sin(\theta) = -\dfrac{2}{3}$ com $\theta$ no Quadrante III, qual é $\cos(\theta)$?

    resposta
    Se $\sin(\theta) = -\dfrac{2}{3}$ com $\theta$ no Quadrante III, então $\cos(\theta) = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
26. Se $\cos(\theta) = \dfrac{28}{53}$ com $\theta$ no Quadrante IV, qual é $\sin(\theta)$?

    resposta
    Se $\cos(\theta) = \dfrac{28}{53}$ com $\theta$ no Quadrante IV, então $\sin(\theta) = -\dfrac{45}{53}$.
27. Se $\sin(\theta) = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ e $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$, qual é $\cos(\theta)$?

    resposta
    Se $\sin(\theta) = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ e $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$, então $\cos(\theta) = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
28. Se $\cos(\theta) = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$ e $2\pi < \theta < \dfrac{5\pi}{2}$, qual é $\sin(\theta)$?

    resposta
    Se $\cos(\theta) = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$ e $2\pi < \theta < \dfrac{5\pi}{2}$, então $\sin(\theta) = \dfrac{3 \sqrt{10}}{10}$.
29. Se $\sin(\theta) = -0.42$ e $\pi < \theta < \dfrac{3\pi}{2}$, qual é $\cos(\theta)$?

    resposta
    Se $\sin(\theta) = -0.42$ e $\pi < \theta < \dfrac{3\pi}{2}$, então $\cos(\theta) = -\sqrt{0.8236} \approx -0.9075$.
30. Se $\cos(\theta) = -0.98$ e $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$, qual é $\sin(\theta)$?

    resposta
    Se $\cos(\theta) = -0.98$ e $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$, então $\sin(\theta) = \sqrt{0.0396} \approx 0.1990$.

Nos Exercícios 31 a 39, encontre todos os ângulos que satisfazem a equação fornecida.

31. $\sin(\theta) = \dfrac{1}{2}$

    resposta
    $\sin(\theta) = \dfrac{1}{2}$ quando $\theta = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ ou $\theta = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$ para qualquer inteiro $k$.
32. $\cos(\theta) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

    resposta
    $\cos(\theta) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ quando $\theta = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$ ou $\theta = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k$ para qualquer inteiro $k$.
33. $\sin(\theta) = 0$

    resposta
    $\sin(\theta) = 0$ quando $\theta = \pi k$ para qualquer inteiro $k$.

34. $\cos(\theta) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

    resposta
    $\cos(\theta) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ quando $\theta = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k$ ou $\theta = \dfrac{7\pi}{4} + 2\pi k$ para qualquer inteiro $k$.
35. $\sin(\theta) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

    resposta
    $\sin(\theta) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ quando $\theta = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$ ou $\theta = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$ para qualquer inteiro $k$.
36. $\cos(\theta) = -1$

    resposta
    $\cos(\theta) = -1$ quando $\theta = (2k + 1)\pi$ para qualquer inteiro $k$.

37. $\sin(\theta) = -1$

    resposta
    $\sin(\theta) = -1$ quando $\theta = \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k$ para qualquer inteiro $k$.
38. $\cos(\theta) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

    resposta
    $\cos(\theta) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ quando $\theta = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ ou $\theta = \dfrac{11\pi}{6} + 2\pi k$ para qualquer inteiro $k$.

39. $\cos(\theta) = -1.001$

    resposta
    $\cos(\theta) = -1.001$ nunca ocorre

Nos Exercícios 40 a 48, resolva a equação para $t$.

40. $\cos(t) = 0$

    resposta
    $\cos(t) = 0$ quando $t = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$ para qualquer inteiro $k$.
41. $\sin(t) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

    resposta
    $\sin(t) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ quando $t = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k$ ou $t = \dfrac{7\pi}{4} + 2\pi k$ para qualquer inteiro $k$.
42. $\cos(t) = 3$

    resposta
    $\cos(t) = 3$ nunca ocorre.

43. $\sin(t) = -\dfrac{1}{2}$

    resposta
    $\sin(t) = -\dfrac{1}{2}$ quando $t = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k$ ou $t = \dfrac{11\pi}{6} + 2\pi k$ para qualquer inteiro $k$.
44. $\cos(t) = \dfrac{1}{2}$

    resposta
    $\cos(t) = \dfrac{1}{2}$ quando $t = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$ ou $t = \dfrac{5\pi}{3} + 2\pi k$ para qualquer inteiro $k$.
45. $\sin(t) = -2$

    resposta
    $\sin(t) = -2$ nunca ocorre.

46. $\cos(t) = 1$

    resposta
    $\cos(t) = 1$ quando $t = 2\pi k$ para qualquer inteiro $k$.
47. $\sin(t) = 1$

    resposta
    $\sin(t) = 1$ quando $t = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$ para qualquer inteiro $k$.
48. $\cos(t) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

    resposta
    $\cos(t) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ quando $t = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$ ou $t = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k$ para qualquer inteiro $k$.

Nos Exercícios 49 a 54, utilize o GeoGebra para aproximar o valor dado com três casas decimais. Certifique-se de usar a medida de ângulo (grau ou radiano) apropriada!

49. $\sin(78.95^{\circ})$

    resposta
    $\sin(78.95^{\circ}) \approx 0.981$
50. $\cos(-2.01)$

    resposta
    $\cos(-2.01) \approx -0.425$
51. $\sin(392.994)$

    resposta
    $\sin(392.994) \approx -0.291$

52. $\cos(207^{\circ})$

    resposta
    $\cos(207^{\circ}) \approx -0.891$
53. $\sin\left( \pi^{\circ} \right)$

    resposta
    $\sin\left( \pi^{\circ} \right) \approx 0.055$
54. $\cos(e)$

    resposta
    $\cos(e) \approx -0.912$

Nos Exercícios 55 a 58, encontre a medida do ângulo faltante e os comprimentos dos lados ausentes.

55. Encontre $\theta$, $b$ e $c$.

    

    resposta
    $\theta = 60^{\circ}$, $b = \dfrac{ \sqrt{3}}{3}$, $c=\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$

56. Encontre $\theta$, $a$ e $c$.

    

    resposta
    $\theta = 45^{\circ}$, $a = 3$, $c = 3\sqrt{2}$

57. Encontre $\alpha$, $a$ e $b$.

    

    resposta
    $\alpha = 57^{\circ}$, $a = 8 \cos(33^{\circ}) \approx 6.709$, $b = 8 \sin(33^{\circ}) \approx 4.357$

58. Encontre $\beta$, $a$ e $c$.

    

    resposta
    $\beta = 42^{\circ}$, $c = \dfrac{6}{\sin(48^{\circ})} \approx 8.074$, $a = \sqrt{c^2 - 6^2} \approx 5.402$

Nos Exercícios 59 a 64, assuma que $\theta$ é um ângulo agudo em um triângulo retângulo e calcule lado solicitado.

59. Se $\theta = 12^{\circ}$ e o cateto adjacente a $\theta$ tem comprimento 4, qual é o comprimento da hipotenusa?

    resposta
    A hipotenusa tem comprimento $\dfrac{4}{\cos(12^{\circ})}\approx 4.089$.
60. Se $\theta = 78.123^{\circ}$ e a hipotenusa tem comprimento 5280, qual é o comprimento do cateto adjacente a $\theta$?

    resposta
    O cateto adjacente a $\theta$ tem comprimento $5280\cos(78.123^{\circ}) \approx 1086.68$.
61. Se $\theta = 59^{\circ}$ e o cateto oposto a $\theta$ tem comprimento 117.42, qual é o comprimento da hipotenusa?

    resposta
    A hipotenusa tem comprimento $\dfrac{117.42}{\sin(59^{\circ})}\approx 136.99$.
62. Se $\theta = 5^{\circ}$ e a hipotenusa tem comprimento 10, qual é o comprimento do cateto oposto a $\theta$?

    resposta
    O cateto oposto a $\theta$ tem comprimento $10\sin(5^{\circ}) \approx 0.872$.
63. Se $\theta = 5^{\circ}$ e a hipotenusa tem comprimento 10, qual é o comprimento do cateto adjacente a $\theta$?

    resposta
    O cateto adjacente a $\theta$ tem comprimento $10\cos(5^{\circ}) \approx 9.962$.
64. Se $\theta = 37.5^{\circ}$ e o cateto oposto a $\theta$ tem comprimento 306, qual é o comprimento do cateto adjacente a $\theta$?

    resposta
    A hipotenusa tem comprimento $c = \dfrac{306}{\sin(37.5^{\circ})}\approx 502.660$, então o cateto adjacente a $\theta$ tem comprimento $\sqrt{c^2 - 306^{2}} \approx 398.797$.

Nos Exercícios 65 a 68, seja $\theta$ o ângulo em posição padrão cujo lado terminal contém o ponto dado e, em seguida, calcule $\cos(\theta)$ e $\sin(\theta)$.

65. $P(-7, 24)$

    resposta
    $\cos(\theta) = -\dfrac{7}{25}, \; \sin(\theta) = \dfrac{24}{25}$

66. $Q(3, 4)$

    resposta
    $\cos(\theta) = \dfrac{3}{5}, \; \sin(\theta) = \dfrac{4}{5}$

67. $R(5, -9)$

    resposta
    $\cos(\theta) = \dfrac{5\sqrt{106}}{106}, \; \sin(\theta) = -\dfrac{9\sqrt{106}}{106}$

68. $T(-2, -11)$

    resposta
    $\cos(\theta) = -\dfrac{2\sqrt{5}}{25}, \; \sin(\theta) = -\dfrac{11\sqrt{5}}{25}$

Nos Exercícios 69 a 72, encontre as equações de movimento para o cenário dado. Suponha que o centro do movimento seja a origem, o movimento seja no sentido anti-horário e que $t = 0$ corresponda a uma posição ao longo do eixo positivo $x$.

69. Um ponto na borda do ioiô giratório no Exercício 50 da Capítulo 25.

    Lembre-se: O diâmetro do ioiô é de 2,25 polegadas e ele gira a 4500 rotações por minuto.

    resposta
    $r = 1.125$ polegadas, $\omega = 9000 \pi \, \frac{\text{radianos}}{\text{minuto}}$, $x = 1.125 \cos(9000 \pi \, t)$, $y = 1.125 \sin(9000 \pi \, t)$. Aqui, $x$ e $y$ são medidos em polegadas e $t$ é medido em minutos.

70. O ioiô no exercício 52 da Capítulo 25.

    Lembre-se: O raio do círculo é de 28 polegadas e ele completa uma revolução em 3 segundos.

    resposta
    $r = 28$ polegadas, $\omega = \frac{2\pi}{3} \, \frac{\text{radianos}}{\text{segundo}}$, $x = 28 \cos\left(\frac{2\pi}{3} \, t \right)$, $y = 28 \sin\left(\frac{2\pi}{3} \, t \right)$. Aqui, $x$ e $y$ são medidos em polegadas e $t$ é medido em segundos.

71. Um ponto na borda do disco rígido no Exercício 53 da Capítulo 25.

    Lembre-se: O diâmetro do disco rígido é de 2,5 polegadas e ele gira a 7200 rotações por minuto.

    resposta
    $r = 1.25$ polegadas, $\omega = 14400 \pi \, \frac{\text{radianos}}{\text{minuto}}$, $x = 1.25 \cos(14400 \pi \, t)$, $y = 1.25 \sin(14400 \pi \, t)$. Aqui, $x$ e $y$ são medidos em polegadas e $t$ é medido em minutos.

72. Um passageiro na Giant Wheel no Exercício 55 da Capítulo 25.

    Lembre-se: O diâmetro é de 128 pés e completa 2 revoluções em 2 minutos e 7 segundos.

    resposta
    $r = 64$ pés, $\omega = \frac{4\pi}{127} \, \frac{\text{radianos}}{\text{segundo}}$, $x = 64 \cos\left(\frac{4\pi}{127} \, t \right)$, $y = 64 \sin\left(\frac{4\pi}{127} \, t \right)$. Aqui, $x$ e $y$ são medidos em pés e $t$ é medido em segundos.

73. Considere os números: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$. Tire a raiz quadrada de cada um desses números e, em seguida, divida cada um por $2$. Os números resultantes devem parecer estranhamente familiares.

74. Sejam $\alpha$ e $\beta$ os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo. (Assim, $\alpha$ e $\beta$ são ângulos complementares.) Mostre que $\sin(\alpha) = \cos(\beta)$ e $\sin(\beta) = \cos(\alpha)$. O fato de que as co-funções de ângulos complementares são iguais neste caso não é um acidente, e um resultado mais geral será apresentado na Capítulo 28.