Trigonometria

30 Funções Trigonométricas Inversas

Nos Exercícios 1 - 40, encontre o valor exato.

1. $\arcsin \left( -1 \right)$

   resposta
   $\arcsin \left( -1 \right) = -\dfrac{\pi}{2}$
2. $\arcsin \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$

   resposta
   $\arcsin \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\dfrac{\pi}{3}$
3. $\arcsin \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$

   resposta
   $\arcsin \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\dfrac{\pi}{4}$

4. $\arcsin \left( -\dfrac{1}{2} \right)$

   resposta
   $\arcsin \left( -\dfrac{1}{2} \right) = -\dfrac{\pi}{6}$

5. $\arcsin \left( 0 \right)$

   resposta
   $\arcsin \left( 0 \right) = 0$
6. $\arcsin \left( \dfrac{1}{2} \right)$

   resposta
   $\arcsin \left( \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{\pi}{6}$

7. $\arcsin \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$

   resposta
   $\arcsin \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \dfrac{\pi}{4}$
8. $\arcsin \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$

   resposta
   $\arcsin \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \dfrac{\pi}{3}$

9. $\arcsin \left( 1 \right)$

   resposta
   $\arcsin \left( 1 \right) = \dfrac{\pi}{2}$

10. $\arccos \left( -1 \right)$

    resposta
    $\arccos \left( -1 \right) = \pi$
11. $\arccos \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$

    resposta
    $\arccos \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \dfrac{5\pi}{6}$
12. $\arccos \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$

    resposta
    $\arccos \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \dfrac{3\pi}{4}$

13. $\arccos \left( -\dfrac{1}{2} \right)$

    resposta
    $\arccos \left( -\dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{2\pi}{3}$
14. $\arccos \left( 0 \right)$

    resposta
    $\arccos \left( 0 \right) = \dfrac{\pi}{2}$
15. $\arccos \left( \dfrac{1}{2} \right)$

    resposta
    $\arccos \left( \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{\pi}{3}$

16. $\arccos \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$

    resposta
    $\arccos \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \dfrac{\pi}{4}$

17. $\arccos \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$

    resposta
    $\arccos \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \dfrac{\pi}{6}$
18. $\arccos \left( 1 \right)$

    resposta
    $\arccos \left( 1 \right) = 0$

19. $\arctan \left( -\sqrt{3} \right)$

    resposta
    $\arctan \left( -\sqrt{3} \right) = -\dfrac{\pi}{3}$
20. $\arctan \left( -1 \right)$

    resposta
    $\arctan \left( -1 \right) = -\dfrac{\pi}{4}$

21. $\arctan \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)$

    resposta
    $\arctan \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right) = -\dfrac{\pi}{6}$

22. $\arctan \left( 0 \right)$

    resposta
    $\arctan \left( 0 \right) = 0$
23. $\arctan \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)$

    resposta
    $\arctan \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right) = \dfrac{\pi}{6}$
24. $\arctan \left( 1 \right)$

    resposta
    $\arctan \left( 1 \right) = \dfrac{\pi}{4}$

25. $\arctan \left( \sqrt{3} \right)$

    resposta
    $\arctan \left( \sqrt{3} \right) = \dfrac{\pi}{3}$
26. $\text{arccot} \left( -\sqrt{3} \right)$

    resposta
    $\text{arccot} \left( -\sqrt{3} \right) = \dfrac{5\pi}{6}$
27. $\text{arccot} \left( -1 \right)$

    resposta
    $\text{arccot} \left( -1 \right) = \dfrac{3\pi}{4}$

28. $\text{arccot} \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)$

    resposta
    $\text{arccot} \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right) = \dfrac{2\pi}{3}$

29. $\text{arccot} \left( 0 \right)$

    resposta
    $\text{arccot} \left( 0 \right) = \dfrac{\pi}{2}$
30. $\text{arccot} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)$

    resposta
    $\text{arccot} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right) = \dfrac{\pi}{3}$

31. $\text{arccot} \left( 1 \right)$

    resposta
    $\text{arccot} \left( 1 \right) = \dfrac{\pi}{4}$
32. $\text{arccot} \left( \sqrt{3} \right)$

    resposta
    $\text{arccot} \left( \sqrt{3} \right) = \dfrac{\pi}{6}$

33. $\text{arcsec} \left( 2 \right)$

    resposta
    $\text{arcsec} \left( 2 \right) = \dfrac{\pi}{3}$

34. $\text{arccsc} \left( 2 \right)$

    resposta
    $\text{arccsc} \left( 2 \right) = \dfrac{\pi}{6}$
35. $\text{arcsec} \left( \sqrt{2} \right)$

    resposta
    $\text{arcsec} \left( \sqrt{2} \right) = \dfrac{\pi}{4}$
36. $\text{arccsc} \left( \sqrt{2} \right)$

    resposta
    $\text{arccsc} \left( \sqrt{2} \right) = \dfrac{\pi}{4}$

37. $\text{arcsec} \left( \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right)$

    resposta
    $\text{arcsec} \left( \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right) = \dfrac{\pi}{6}$
38. $\text{arccsc} \left( \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right)$

    resposta
    $\text{arccsc} \left( \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right) = \dfrac{\pi}{3}$
39. $\text{arcsec} \left( 1 \right)$

    resposta
    $\text{arcsec} \left( 1 \right) = 0$

40. $\text{arccsc} \left( 1 \right)$

    resposta
    $\text{arccsc} \left( 1 \right) = \dfrac{\pi}{2}$

Nos Exercícios 41 - 48, suponha que a imagem do arco secante é $\left[0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left[\pi, \frac{ 3\pi}{2} \right)$ e que a imagem do arco cossecante é $\left(0, \frac{\pi}{2} \right] \cup \left( \pi, \frac{3\pi }{2} \right]$ ao encontrar o valor exato.

41. $\text{arcsec} \left( -2 \right)$

    resposta
    $\text{arcsec} \left( -2 \right) = \dfrac{4\pi}{3}$
42. $\text{arcsec} \left( -\sqrt{2} \right)$

    resposta
    $\text{arcsec} \left( -\sqrt{2} \right) = \dfrac{5\pi}{4}$

43. $\text{arcsec} \left( -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right)$

    resposta
    $\text{arcsec} \left( -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right) = \dfrac{7\pi}{6}$
44. $\text{arcsec} \left( -1 \right)$

    resposta
    $\text{arcsec} \left( -1 \right) = \pi$

45. $\text{arccsc} \left( -2 \right)$

    resposta
    $\text{arccsc} \left( -2 \right) = \dfrac{7\pi}{6}$

46. $\text{arccsc} \left( -\sqrt{2} \right)$

    resposta
    $\text{arccsc} \left( -\sqrt{2} \right) = \dfrac{5\pi}{4}$
47. $\text{arccsc} \left( -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right)$

    resposta
    $\text{arccsc} \left( -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right) = \dfrac{4\pi}{3}$
48. $\text{arccsc} \left( -1 \right)$

    resposta
    $\text{arccsc} \left( -1 \right) = \dfrac{3\pi}{2}$

Nos Exercícios 49 - 56, suponha que a imagem do arco secante é $\left[0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{\pi} {2}, \pi \right]$ e que a imagem do arco cossecante é $\left[ -\frac{\pi}{2}, 0 \right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2} \right]$ ao encontrar o valor exato.

49. $\text{arcsec} \left( -2 \right)$

    resposta
    $\text{arcsec} \left( -2 \right) = \dfrac{2\pi}{3}$
50. $\text{arcsec} \left( -\sqrt{2} \right)$

    resposta
    $\text{arcsec} \left( -\sqrt{2} \right) = \dfrac{3\pi}{4}$
51. $\text{arcsec} \left( -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right)$

    resposta
    $\text{arcsec} \left( -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right) = \dfrac{5\pi}{6}$

52. $\text{arcsec} \left( -1 \right)$

    resposta
    $\text{arcsec} \left( -1 \right) = \pi$

53. $\text{arccsc} \left( -2 \right)$

    resposta
    $\text{arccsc} \left( -2 \right) = -\dfrac{\pi}{6}$
54. $\text{arccsc} \left( -\sqrt{2} \right)$

    resposta
    $\text{arccsc} \left( -\sqrt{2} \right) = -\dfrac{\pi}{4}$

55. $\text{arccsc} \left( -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right)$

    resposta
    $\text{arccsc} \left( -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right) = -\dfrac{\pi}{3}$
56. $\text{arccsc} \left( -1 \right)$

    resposta
    $\text{arccsc} \left( -1 \right) = -\dfrac{\pi}{2}$

Nos Exercícios 57 - 86, encontre o valor exato ou declare que ele é indefinido.

57. $\sin\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)$

    resposta
    $\sin\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right)\right) = \dfrac{1}{2}$
58. $\sin\left(\arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$

    resposta
    $\sin\left(\arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

59. $\sin\left(\arcsin\left(\dfrac{3}{5}\right)\right)$

    resposta
    $\sin\left(\arcsin\left(\dfrac{3}{5}\right)\right) = \dfrac{3}{5}$

60. $\sin\left(\arcsin\left(-0.42\right)\right)$

    resposta
    $\sin\left(\arcsin\left(-0.42\right)\right) = -0.42$

61. $\sin\left(\arcsin\left(\dfrac{5}{4}\right)\right)$

    resposta
    $\sin\left(\arcsin\left(\dfrac{5}{4}\right)\right)$ é indefinido.
62. $\cos\left(\arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$

    resposta
    $\cos\left(\arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

63. $\cos\left(\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)$

    resposta
    $\cos\left(\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = -\dfrac{1}{2}$
64. $\cos\left(\arccos\left(\dfrac{5}{13}\right)\right)$

    resposta
    $\cos\left(\arccos\left(\dfrac{5}{13}\right)\right) = \dfrac{5}{13}$

65. $\cos\left(\arccos\left(-0.998\right)\right)$

    resposta
    $\cos\left(\arccos\left(-0.998\right)\right) = -0.998$

66. $\cos\left(\arccos\left(\pi \right)\right)$

    resposta
    $\cos\left(\arccos\left(\pi \right)\right)$ é indefinido.

67. $\tan\left(\arctan\left(-1\right)\right)$

    resposta
    $\tan\left(\arctan\left(-1\right)\right) = -1$
68. $\tan\left(\arctan\left(\sqrt{3}\right)\right)$

    resposta
    $\tan\left(\arctan\left(\sqrt{3}\right)\right) = \sqrt{3}$

69. $\tan\left(\arctan\left(\dfrac{5}{12}\right)\right)$

    resposta
    $\tan\left(\arctan\left(\dfrac{5}{12}\right)\right) = \dfrac{5}{12}$
70. $\tan\left(\arctan\left(0.965\right)\right)$

    resposta
    $\tan\left(\arctan\left(0.965\right)\right) = 0.965$

71. $\tan\left(\arctan\left( 3\pi \right)\right)$

    resposta
    $\tan\left(\arctan\left( 3\pi \right)\right) = 3\pi$

72. $\cot\left(\text{arccot}\left(1\right)\right)$

    resposta
    $\cot\left(\text{arccot}\left(1\right)\right) = 1$

73. $\cot\left(\text{arccot}\left(-\sqrt{3}\right)\right)$

    resposta
    $\cot\left(\text{arccot}\left(-\sqrt{3}\right)\right) = -\sqrt{3}$
74. $\cot\left(\text{arccot}\left(-\dfrac{7}{24}\right)\right)$

    resposta
    $\cot\left(\text{arccot}\left(-\dfrac{7}{24}\right)\right) = -\dfrac{7}{24}$

75. $\cot\left(\text{arccot}\left(-0.001\right)\right)$

    resposta
    $\cot\left(\text{arccot}\left(-0.001\right)\right) = -0.001$
76. $\cot\left(\text{arccot}\left( \dfrac{17\pi}{4} \right)\right)$

    resposta
    $\cot\left(\text{arccot}\left( \dfrac{17\pi}{4} \right)\right) = \dfrac{17\pi}{4}$

77. $\sec\left(\text{arcsec}\left(2\right)\right)$

    resposta
    $\sec\left(\text{arcsec}\left(2\right)\right) = 2$

78. $\sec\left(\text{arcsec}\left(-1\right)\right)$

    resposta
    $\sec\left(\text{arcsec}\left(-1\right)\right) = -1$

79. $\sec\left(\text{arcsec}\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)$

    resposta
    $\sec\left(\text{arcsec}\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)$ é indefinido.
80. $\sec\left(\text{arcsec}\left(0.75\right)\right)$

    resposta
    $\sec\left(\text{arcsec}\left(0.75\right)\right)$ é indefinido.

81. $\sec\left(\text{arcsec}\left( 117\pi \right)\right)$

    resposta
    $\sec\left(\text{arcsec}\left( 117\pi \right)\right)= 117\pi $
82. $\csc\left(\text{arccsc}\left(\sqrt{2}\right)\right)$

    resposta
    $\csc\left(\text{arccsc}\left(\sqrt{2}\right)\right) = \sqrt{2}$

83. $\csc\left(\text{arccsc}\left(-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)\right)$

    resposta
    $\csc\left(\text{arccsc}\left(-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)\right) = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

84. $\csc\left(\text{arccsc}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$

    resposta
    $\csc\left(\text{arccsc}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$ é indefinido.

85. $\csc\left(\text{arccsc}\left(1.0001\right)\right)$

    resposta
    $\csc\left(\text{arccsc}\left(1.0001\right)\right) = 1.0001$
86. $\csc\left(\text{arccsc}\left( \dfrac{\pi}{4} \right)\right)$

    resposta
    $\csc\left(\text{arccsc}\left( \dfrac{\pi}{4} \right)\right)$ é indefinido.

Nos Exercícios 87 - 106, encontre o valor exato ou declare que ele é indefinido.

87. $\arcsin\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \right)$

    resposta
    $\arcsin\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \right) = \dfrac{\pi}{6}$
88. $\arcsin\left(\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \right)$

    resposta
    $\arcsin\left(\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \right) = -\dfrac{\pi}{3}$

89. $\arcsin\left(\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) \right)$

    resposta
    $\arcsin\left(\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) \right) = \dfrac{\pi}{4}$

90. $\arcsin\left(\sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \right)$

    resposta
    $\arcsin\left(\sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \right) = -\dfrac{\pi}{6}$

91. $\arcsin\left(\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) \right)$

    resposta
    $\arcsin\left(\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) \right) = -\dfrac{\pi}{3}$
92. $\arccos\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right)$

    resposta
    $\arccos\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right) = \dfrac{\pi}{4}$

93. $\arccos\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \right)$

    resposta
    $\arccos\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \right) = \dfrac{2\pi}{3}$
94. $\arccos\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \right)$

    resposta
    $\arccos\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \right) = \dfrac{\pi}{2}$

95. $\arccos\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \right)$

    resposta
    $\arccos\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \right) = \dfrac{\pi}{6}$

96. $\arccos\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \right)$

    resposta
    $\arccos\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \right) = \dfrac{3\pi}{4}$

97. $\arctan\left(\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \right)$

    resposta
    $\arctan\left(\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \right) = \dfrac{\pi}{3}$
98. $\arctan\left(\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) \right)$

    resposta
    $\arctan\left(\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) \right) = -\dfrac{\pi}{4}$

99. $\arctan\left(\tan\left(\pi\right) \right)$

    resposta
    $\arctan\left(\tan\left(\pi\right) \right) = 0$
100. $\arctan\left(\tan\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \right)$

     resposta
     $\arctan\left(\tan\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \right)$ é indefinido

101. $\arctan\left(\tan\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \right)$

     resposta
     $\arctan\left(\tan\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \right) = -\dfrac{\pi}{3}$

102. $\text{arccot}\left(\cot\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arccot}\left(\cot\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \right) = \dfrac{\pi}{3}$

103. $\text{arccot}\left(\cot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arccot}\left(\cot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) \right) = \dfrac{3\pi}{4}$
104. $\text{arccot}\left(\cot\left(\pi\right) \right)$

     resposta
     $\text{arccot}\left(\cot\left(\pi\right) \right)$ é indefinido

105. $\text{arccot}\left(\cot\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arccot}\left(\cot\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \right) = \dfrac{\pi}{2}$
106. $\text{arccot}\left(\cot\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arccot}\left(\cot\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \right) = \dfrac{2\pi}{3}$

Nos Exercícios 107 - 118, suponha que a imagem do arco secante é $\left[0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left[\pi, \frac{ 3\pi}{2} \right)$ e que a imagem do arco cossecante é $\left(0, \frac{\pi}{2} \right] \cup \left( \pi, \frac{3\pi }{2} \right]$ ao encontrar o valor exato.

107. $\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right) = \dfrac{\pi}{4}$
108. $\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) \right) = \dfrac{4\pi}{3}$

109. $\text{arcsec}\left(\sec\left( \dfrac{5\pi}{6} \right) \right)$

     resposta
     $\text{arcsec}\left(\sec\left( \dfrac{5\pi}{6} \right) \right) = \dfrac{7\pi}{6}$

110. $\text{arcsec}\left(\sec\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right)$

     resposta
     $\text{arcsec}\left(\sec\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right)$ é indefinido.

111. $\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) \right) = \dfrac{\pi}{3}$
112. $\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \right) = \dfrac{\pi}{6}$

113. $\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \right) = \dfrac{5\pi}{4}$
114. $\text{arccsc}\left(\csc\left( \dfrac{2\pi}{3} \right) \right)$

     resposta
     $\text{arccsc}\left(\csc\left( \dfrac{2\pi}{3} \right) \right) = \dfrac{\pi}{3}$

115. $\text{arccsc}\left(\csc\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right)$

     resposta
     $\text{arccsc}\left(\csc\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right) = \dfrac{3\pi}{2}$

116. $\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \right) = \dfrac{7\pi}{6}$

117. $\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) \right) = \dfrac{13\pi}{12}$
118. $\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{9\pi}{8}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{9\pi}{8}\right) \right) = \dfrac{9\pi}{8}$

Nos Exercícios 119 - 130, suponha que a imagem do arco secante é $\left[0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{\pi} {2}, \pi \right]$ e que a imagem do arco cossecante é $\left[ -\frac{\pi}{2}, 0 \right) \cup \left(0, \frac{\pi}{ 2} \right]$ ao encontrar o valor exato.

119. $\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right) = \dfrac{\pi}{4}$
120. $\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) \right) = \dfrac{2\pi}{3}$

121. $\text{arcsec}\left(\sec\left( \dfrac{5\pi}{6} \right) \right)$

     resposta
     $\text{arcsec}\left(\sec\left( \dfrac{5\pi}{6} \right) \right) = \dfrac{5\pi}{6}$

122. $\text{arcsec}\left(\sec\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right)$

     resposta
     $\text{arcsec}\left(\sec\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right)$ é indefinido.

123. $\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) \right) = \dfrac{\pi}{3}$
124. $\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \right) = \dfrac{\pi}{6}$

125. $\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \right) = -\dfrac{\pi}{4}$
126. $\text{arccsc}\left(\csc\left( \dfrac{2\pi}{3} \right) \right)$

     resposta
     $\text{arccsc}\left(\csc\left( \dfrac{2\pi}{3} \right) \right) = \dfrac{\pi}{3}$

127. $\text{arccsc}\left(\csc\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right)$

     resposta
     $\text{arccsc}\left(\csc\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right) = -\dfrac{\pi}{2}$

128. $\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \right) = -\dfrac{\pi}{6}$

129. $\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arcsec}\left(\sec\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) \right) = \dfrac{11\pi}{12}$
130. $\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{9\pi}{8}\right) \right)$

     resposta
     $\text{arccsc}\left(\csc\left(\dfrac{9\pi}{8}\right) \right) = -\dfrac{\pi}{8}$

Nos Exercícios 131 - 154, encontre o valor exato ou declare que ele é indefinido.

131. $\sin\left(\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)$

     resposta
     $\sin\left(\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
132. $\sin\left(\arccos\left(\dfrac{3}{5}\right)\right)$

     resposta
     $\sin\left(\arccos\left(\dfrac{3}{5}\right)\right) = \dfrac{4}{5}$

133. $\sin\left(\arctan\left(-2\right)\right)$

     resposta
     $\sin\left(\arctan\left(-2\right)\right) = -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

134. $\sin\left(\text{arccot}\left(\sqrt{5}\right)\right)$

     resposta
     $\sin\left(\text{arccot}\left(\sqrt{5}\right)\right) = \dfrac{\sqrt{6}}{6}$

135. $\sin\left(\text{arccsc}\left(-3\right)\right)$

     resposta
     $\sin\left(\text{arccsc}\left(-3\right)\right) = -\dfrac{1}{3}$
136. $\cos\left(\arcsin\left(-\dfrac{5}{13}\right)\right)$

     resposta
     $\cos\left(\arcsin\left(-\dfrac{5}{13}\right)\right) = \dfrac{12}{13}$

137. $\cos\left(\arctan\left(\sqrt{7} \right)\right)$

     resposta
     $\cos\left(\arctan\left(\sqrt{7} \right)\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$
138. $\cos\left(\text{arccot}\left( 3 \right)\right)$

     resposta
     $\cos\left(\text{arccot}\left( 3 \right)\right) = \dfrac{3\sqrt{10}}{10}$

139. $\cos\left(\text{arcsec}\left( 5 \right)\right)$

     resposta
     $\cos\left(\text{arcsec}\left( 5 \right)\right) = \dfrac{1}{5}$

140. $\tan\left(\arcsin\left(-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)\right)$

     resposta
     $\tan\left(\arcsin\left(-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)\right)=-2$

141. $\tan\left(\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)$

     resposta
     $\tan\left(\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = -\sqrt{3}$
142. $\tan\left(\text{arcsec}\left(\dfrac{5}{3}\right)\right)$

     resposta
     $\tan\left(\text{arcsec}\left(\dfrac{5}{3}\right)\right) = \dfrac{4}{3}$

143. $\tan\left(\text{arccot}\left( 12 \right)\right)$

     resposta
     $\tan\left(\text{arccot}\left( 12 \right)\right) = \dfrac{1}{12}$
144. $\cot\left(\arcsin\left(\dfrac{12}{13}\right)\right)$

     resposta
     $\cot\left(\arcsin\left(\dfrac{12}{13}\right)\right) = \dfrac{5}{12}$

145. $\cot\left(\arccos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$

     resposta
     $\cot\left(\arccos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = \sqrt{3}$

146. $\cot\left(\text{arccsc}\left(\sqrt{5}\right)\right)$

     resposta
     $\cot\left(\text{arccsc}\left(\sqrt{5}\right)\right) = 2$

147. $\cot\left(\arctan \left( 0.25 \right)\right)$

     resposta
     $\cot\left(\arctan \left( 0.25 \right)\right) = 4$
148. $\sec\left(\arccos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$

     resposta
     $\sec\left(\arccos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

149. $\sec\left(\arcsin\left(-\dfrac{12}{13}\right)\right)$

     resposta
     $\sec\left(\arcsin\left(-\dfrac{12}{13}\right)\right) = \dfrac{13}{5}$
150. $\sec\left(\arctan\left(10\right)\right)$

     resposta
     $\sec\left(\arctan\left(10\right)\right) = \sqrt{101}$

151. $\sec\left(\text{arccot}\left(-\dfrac{\sqrt{10}}{10}\right)\right)$

     resposta
     $\sec\left(\text{arccot}\left(-\dfrac{\sqrt{10}}{10}\right)\right) = -\sqrt{11}$

152. $\csc\left(\text{arccot}\left(9 \right)\right)$

     resposta
     $\csc\left(\text{arccot}\left(9 \right)\right) = \sqrt{82}$

153. $\csc\left(\arcsin\left(\dfrac{3}{5}\right)\right)$

     resposta
     $\csc\left(\arcsin\left(\dfrac{3}{5}\right)\right) = \dfrac{5}{3}$
154. $\csc\left(\arctan\left(-\dfrac{2}{3}\right)\right)$

     resposta
     $\csc\left(\arctan\left(-\dfrac{2}{3}\right)\right) = -\dfrac{\sqrt{13}}{2}$

Nos Exercícios 155 - 164, encontre o valor exato ou declare que ele é indefinido.

155. $\sin\left(\arcsin\left( \dfrac{5}{13} \right) + \dfrac{\pi}{4}\right)$

     resposta
     $\sin\left(\arcsin\left( \dfrac{5}{13} \right) + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{17\sqrt{2}}{26}$
156. $\cos\left( \text{arcsec}(3) + \arctan(2) \right)$

     resposta
     $\cos\left( \text{arcsec}(3) + \arctan(2) \right) = \dfrac{\sqrt{5} - 4\sqrt{10}}{15}$

157. $\tan\left( \arctan(3) + \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \right)$

     resposta
     $\tan\left( \arctan(3) + \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \right) = \dfrac{1}{3}$
158. $\sin\left(2\arcsin\left(-\dfrac{4}{5}\right)\right)$

     resposta
     $\sin\left(2\arcsin\left(-\dfrac{4}{5}\right)\right)= -\dfrac{24}{25}$

159. $\sin\left(2\text{arccsc}\left(\dfrac{13}{5}\right)\right)$

     resposta
     $\sin\left(2\text{arccsc}\left(\dfrac{13}{5}\right)\right) = \dfrac{120}{169}$
160. $\sin\left(2\arctan\left(2\right)\right)$

     resposta
     $\sin\left(2\arctan\left(2\right)\right) = \dfrac{4}{5}$

161. $\cos\left(2 \arcsin\left(\dfrac{3}{5}\right)\right)$

     resposta
     $\cos\left(2 \arcsin\left(\dfrac{3}{5}\right)\right) = \dfrac{7}{25}$
162. $\cos\left(2 \text{arcsec}\left(\dfrac{25}{7}\right)\right)$

     resposta
     $\cos\left(2 \text{arcsec}\left(\dfrac{25}{7}\right)\right) = -\dfrac{527}{625}$

163. $\cos\left(2 \text{arccot}\left(-\sqrt{5}\right)\right)$

     resposta
     $\cos\left(2 \text{arccot}\left(-\sqrt{5}\right)\right) = \dfrac{2}{3}$
164. $\sin\left( \dfrac{\arctan(2)}{2} \right)$

     resposta
     $\sin\left( \dfrac{\arctan(2)}{2} \right) = \sqrt{\dfrac{5-\sqrt{5}}{10}}$

Nos Exercícios 165 - 184, reescreva a quantidade como expressões algébricas de $x$ e indique o domínio no qual a equivalência é válida.

165. $\sin \left( \arccos \left( x \right) \right)$

     resposta
     $\sin \left( \arccos \left( x \right) \right) = \sqrt{1 - x^{2}}$ para $-1 \leq x \leq 1$
166. $\cos \left( \arctan \left( x \right) \right)$

     resposta
     $\cos \left( \arctan \left( x \right) \right) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ para todo $x$
167. $\tan \left( \arcsin \left( x \right) \right)$

     resposta
     $\tan \left( \arcsin \left( x \right) \right) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ para $-1 < x < 1$

168. $\sec \left( \arctan \left( x \right) \right)$

     resposta
     $\sec \left( \arctan \left( x \right) \right) = \sqrt{1 + x^{2}}$ para todo $x$
169. $\csc \left( \arccos \left( x \right) \right)$

     resposta
     $\csc \left( \arccos \left( x \right) \right) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ para $-1 < x < 1$
170. $\sin \left( 2\arctan \left( x \right) \right)$

     resposta
     $\sin \left( 2\arctan \left( x \right) \right) = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}$ para todo $x$

171. $\sin \left( 2\arccos \left( x \right) \right)$

     resposta
     $\sin \left( 2\arccos \left( x \right) \right) = 2x\sqrt{1-x^2}$ para $-1 \leq x \leq 1$
172. $\cos \left( 2\arctan \left( x \right) \right)$

     resposta
     $\cos \left( 2\arctan \left( x \right) \right) = \dfrac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ para todo $x$
173. $\sin(\arccos(2x))$

     resposta
     $\sin(\arccos(2x)) = \sqrt{1-4x^2}$ para $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$

174. $\sin\left(\arccos\left(\dfrac{x}{5}\right)\right)$

     resposta
     $\sin\left(\arccos\left(\dfrac{x}{5}\right)\right) = \dfrac{\sqrt{25-x^2}}{5}$ para $-5 \leq x \leq 5$
175. $\cos\left(\arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)$

     resposta
     $\cos\left(\arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right) = \dfrac{\sqrt{4-x^2}}{2}$ para $-2 \leq x \leq 2$
176. $\cos\left(\arctan\left(3x\right)\right)$

     resposta
     $\cos\left(\arctan\left(3x\right)\right) = \dfrac{1}{\sqrt{1+9x^{2}}}$ para todo $x$

177. $\sin(2\arcsin(7x))$

     resposta
     $\sin(2\arcsin(7x)) = 14x \sqrt{1-49x^2}$ para $-\dfrac{1}{7} \leq x \leq \dfrac{1}{7}$
178. $\sin\left(2 \arcsin\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{3} \right) \right)$

     resposta
     $\sin\left(2 \arcsin\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{3} \right) \right) = \dfrac{2x\sqrt{3-x^2}}{3}$ para $-\sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3}$

179. $\cos(2 \arcsin(4x))$

     resposta
     $\cos(2 \arcsin(4x)) = 1 - 32x^2$ para $-\dfrac{1}{4} \leq x \leq \dfrac{1}{4}$
180. $\sec(\arctan(2x))\tan(\arctan(2x))$

     resposta
     $\sec(\arctan(2x))\tan(\arctan(2x)) = 2x \sqrt{1+4x^2}$ para todo $x$

181. $\sin \left( \arcsin(x) + \arccos(x) \right)$

     resposta
     $\sin \left( \arcsin(x) + \arccos(x) \right) = 1$ para $-1 \leq x \leq 1$
182. $\cos \left( \arcsin(x) + \arctan(x) \right)$

     resposta
     $\cos \left( \arcsin(x) + \arctan(x) \right) = \dfrac{\sqrt{1 - x^{2}} - x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ para $-1 \leq x \leq 1$

183. $\tan \left( 2\arcsin(x) \right)$

     resposta
     $\tan \left( 2\arcsin(x) \right) = \dfrac{2x\sqrt{1 - x^{2}}}{1 - 2x^{2}}$ para $x$ in $\left(-1, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \cup \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$
184. $\sin \left( \dfrac{1}{2}\arctan(x) \right)$

     resposta
     $\sin \left( \dfrac{1}{2}\arctan(x) \right) = \left\{ \begin{array}{rr} \sqrt{\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{2\sqrt{x^{2} + 1}}} & \text{para $x \geq 0$} \\ [10pt] -\sqrt{\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{2\sqrt{x^{2} + 1}}} & \text{para $x < 0$} \end{array}\right. $

185. Se $\sin(\theta) = \dfrac{x}{2}$ para $-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}$, encontre uma expressão para $\theta + \sin(2\theta)$ em termos de $x$.

     resposta
     Se $\sin(\theta) = \dfrac{x}{2}$ para $-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}$, então $\theta + \sin(2\theta) = \arcsin \left( \dfrac{x}{2} \right) + \dfrac{x\sqrt{4 - x^{2}}}{2}$

186. Se $\tan(\theta) = \dfrac{x}{7}$ para $-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}$, encontre uma expressão para $\dfrac{1}{2}\theta - \dfrac{1}{2}\sin(2\theta)$ em termos de $x$.

     resposta
     Se $\tan(\theta) = \dfrac{x}{7}$ para $-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}$, então $\dfrac{1}{2}\theta - \dfrac{1}{2}\sin(2\theta) = \dfrac{1}{2} \arctan \left( \dfrac{x}{7} \right) - \dfrac{7x}{x^{2} + 49}$

187. Se $\sec(\theta) = \dfrac{x}{4}$ para $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$, encontre uma expressão para $4\tan(\theta) - 4\theta$ em termos de $x$.

     resposta
     Se $\sec(\theta) = \dfrac{x}{4}$ para $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$, então $4\tan(\theta) - 4\theta = \sqrt{x^{2} - 16} - 4\text{arcsec} \left( \dfrac{x}{4} \right)$

Nos Exercícios 188 - 207, use o GeoGebra para encontrar soluções aproximadas no intervalo $[0, 2\pi)$.

188. $\sin(x) = \dfrac{7}{11}$

     resposta
     $x = \arcsin\left(\dfrac{7}{11}\right) + 2\pi k$ or $x = \pi - \arcsin\left(\dfrac{7}{11}\right) + 2\pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 0.6898, \, 2.4518$
189. $\cos(x) = -\dfrac{2}{9}$

     resposta
     $x = \arccos\left(-\dfrac{2}{9}\right) + 2\pi k$ or $x = - \arccos\left(-\dfrac{2}{9}\right) + 2\pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 1.7949, \, 4.4883$
190. $\sin(x) = -0.569$

     resposta
     $x = \pi + \arcsin(0.569) + 2\pi k$ or $x = 2\pi - \arcsin(0.569) + 2\pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 3.7469, \, 5.6779$

191. $\cos(x) = 0.117$

     resposta
     $x = \arccos(0.117) + 2\pi k$ or $x = 2\pi - \arccos(0.117) + 2\pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 1.4535, \, 4.8297$
192. $\sin(x) = 0.008$

     resposta
     $x = \arcsin(0.008) + 2\pi k$ or $x = \pi - \arcsin(0.008) + 2\pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 0.0080, \, 3.1336$
193. $\cos(x) = \dfrac{359}{360}$

     resposta
     $x = \arccos\left(\dfrac{359}{360}\right) + 2\pi k$ or $x = 2\pi - \arccos\left(\dfrac{359}{360}\right) + 2\pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 0.0746, \, 6.2086$

194. $\tan(x) = 117$

     resposta
     $x = \arctan(117) + \pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 1.56225, \, 4.70384$
195. $\cot(x) = -12$

     resposta
     $x = \arctan\left(-\dfrac{1}{12}\right) + \pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 3.0585, \, 6.2000$
196. $\sec(x) = \dfrac{3}{2}$

     resposta
     $x = \arccos\left(\dfrac{2}{3}\right) + 2\pi k$ or $x = 2\pi - \arccos\left(\dfrac{2}{3}\right) + 2\pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 0.8411, \, 5.4422$

197. $\csc(x) = -\dfrac{90}{17}$

     resposta
     $x = \pi + \arcsin\left(\dfrac{17}{90}\right) + 2\pi k$ or $x = 2\pi - \arcsin\left(\dfrac{17}{90}\right) + 2\pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 3.3316, \, 6.0932$
198. $\tan(x) = -\sqrt{10}$

     resposta
     $x = \arctan\left(-\sqrt{10}\right) + \pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 1.8771, \, 5.0187$
199. $\sin(x) = \dfrac{3}{8}$

     resposta
     $x = \arcsin\left(\dfrac{3}{8}\right) + 2\pi k$ or $x = \pi - \arcsin\left(\dfrac{3}{8}\right) + 2\pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 0.3844, \, 2.7572$

200. $\cos(x) = -\dfrac{7}{16}$

     resposta
     $x = \arccos\left(-\dfrac{7}{16}\right) + 2\pi k$ or $x = - \arccos\left(-\dfrac{7}{16}\right) + 2\pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 2.0236, \, 4.2596$
201. $\tan(x) = 0.03$

     resposta
     $x = \arctan(0.03) + \pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 0.0300, \, 3.1716$

202. $\sin(x) = 0.3502$

     resposta
     $x = \arcsin(0.3502) + 2\pi k$ or $x = \pi - \arcsin(0.3502) + 2\pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 0.3578, \,2.784$

203. $\sin(x) = -0.721$

     resposta
     $x = \pi + \arcsin(0.721) + 2\pi k$ or $x = 2\pi - \arcsin(0.721) + 2\pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 3.9468, \, 5.4780$

204. $\cos(x) = 0.9824$

     resposta
     $x = \arccos(0.9824) + 2\pi k$ or $x = 2\pi - \arccos(0.9824) + 2\pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 0.1879, \, 6.0953$

205. $\cos(x) = -0.5637$

     resposta
     $x = \arccos(-0.5637) + 2\pi k$ or $x = - \arccos(-0.5637) + 2\pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 2.1697, \, 4.1135$

206. $\cot(x) = \dfrac{1}{117}$

     resposta
     $x = \arctan(117) + \pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 1.5622, \, 4.7038$

207. $\tan(x) = -0.6109$

     resposta
     $x = \arctan(-0.6109) + \pi k$, in $[0, 2\pi)$, $x \approx 2.5932, \, 5.7348$

Nos Exercícios 208 - 210, encontre os dois ângulos agudos no triângulo retângulo cujos lados têm os comprimentos dados. Expresse suas respostas usando medida de grau arredondada para duas casas decimais.

208. 3, 4 and 5

     resposta
     $36.87^{\circ}$ and $53.13^{\circ}$
209. 5, 12 and 13

     resposta
     $22.62^{\circ}$ and $67.38^{\circ}$
210. 336, 527 and 625

     resposta
     $32.52^{\circ}$ and $57.48^{\circ}$

211. Um cabo de sustentação de 1000 pés de comprimento está preso ao topo de uma torre. Quando esticado, ele toca o solo nivelado a 360 pés da base da torre. Qual é o ângulo que o fio faz com o solo? Expresse sua resposta usando medida de grau arredondada para uma casa decimal.

     resposta
     $68.9^{\circ}$

212. O Grande Desfiladeiro do Mapinguari tem 7117 pés de profundidade. A partir desse ponto, um incêndio é visto em um local conhecido por estar a 10 milhas de distância da base da parede íngreme do cânion. Que ângulo de depressão é formado pela linha de visão da borda do cânion até o fogo? Expresse sua resposta usando medida de grau arredondada para uma casa decimal.

     resposta
     $7.7^{\circ}$

213. Estantes estão sendo construídas na Biblioteca de Pesquisa, que deve ter 14 polegadas de profundidade. Uma haste de 18 polegadas será fixada na parede e na parte inferior da prateleira na borda afastada da parede, formando um triângulo retângulo sob a prateleira para apoiá-la. Que ângulo, com aproximação de grau, a haste fará com a parede?

     resposta
     $51^{\circ}$

214. Um paraquedas está sendo puxado por um barco no Lago Ippizuti. O cabo tem 300 pés de comprimento e o paraquedas está 100 pés acima da superfície da água. Qual é o ângulo de elevação do barco até o paraquedas? Expresse sua resposta usando medida de grau arredondada para uma casa decimal.

     resposta
     $19.5^{\circ}$

215. Um programa de marcação e liberação para estudar a população de mapinguaris do Parque Nacional de Mapinguaris é iniciado. De uma torre de 200 pés de altura, um guarda florestal avista um mapinguari avançando pesadamente pela selva diretamente em direção à torre. Seja $\theta$ o ângulo de depressão do topo da torre até um ponto no solo. Se o alcance do rifle com um dardo tranquilizante for de 300 pés, encontre o menor valor de $\theta$ para o qual o ponto correspondente no solo está ao alcance do rifle. Arredonde sua resposta para o centésimo de grau mais próximo.

     resposta
     $41.81^{\circ}$

Nos Exercícios 216 - 221, reescreva a função dada como uma senóide da forma $S(x) = A\sin(\omega x + \phi)$ usando os exercícios semelhantes da capítulo 29 para referência. Aproxime o valor de $\phi$ (que está em radianos, é claro) com quatro casas decimais.

216. $f(x) = 5\sin(3x) + 12\cos(3x)$

     resposta
     $f(x) = 5\sin(3x) + 12\cos(3x) = 13\sin\left(3x + \arcsin\left(\dfrac{12}{13}\right)\right) \approx 13\sin(3x + 1.1760)$
217. $f(x) = 3\cos(2x) + 4\sin(2x)$

     resposta
     $f(x) = 3\cos(2x) + 4\sin(2x) = 5\sin\left(2x+\arcsin\left(\dfrac{3}{5}\right) \right) \approx 5\sin(2x+0.6435)$

218. $f(x) = \cos(x) - 3\sin(x)$

     resposta
     $f(x) = \cos(x) - 3\sin(x) = \sqrt{10} \sin\left(x + \arccos\left(-\dfrac{3\sqrt{10}}{10} \right)\right) \approx \sqrt{10} \sin(x + 2.8198)$
219. $f(x) = 7\sin(10x) - 24\cos(10x)$

     resposta
     $f(x) = 7\sin(10x) - 24\cos(10x) = 25\sin\left( 10x + \arcsin\left(-\dfrac{24}{25}\right)\right) \approx 25 \sin(10x-1.2870)$

220. $f(x) = -\cos(x) - 2\sqrt{2} \sin(x)$

     resposta
     $f(x) = -\cos(x) - 2\sqrt{2} \sin(x) = 3\sin\left(x+\pi + \arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)\right) \approx 3\sin(x+3.4814)$
221. $f(x) = 2\sin(x) - \cos(x)$

     resposta
     $f(x) = 2\sin(x) - \cos(x) = \sqrt{5}\sin\left(x + \arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)\right) \approx \sqrt{5}\sin(x -0.4636)$

Nos Exercícios 222 - 233, encontre o domínio da função dada. Escreva suas respostas em notação de intervalo.

222. $f(x) = \arcsin(5x)$

     resposta
     $\left[-\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{5}\right]$
223. $f(x) = \arccos\left(\dfrac{3x-1}{2} \right)$

     resposta
     $\left[-\dfrac{1}{3}, 1 \right]$

224. $f(x) = \arcsin\left(2x^2\right)$

     resposta
     $\left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$

225. $f(x) = \arccos\left(\dfrac{1}{x^2-4}\right)$

     resposta
     $(-\infty, -\sqrt{5}] \cup [-\sqrt{3}, \sqrt{3}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$

226. $f(x) = \arctan(4x)$

     resposta
     $(-\infty, \infty)$
227. $f(x) = \text{arccot}\left(\dfrac{2x}{x^2-9}\right)$

     resposta
     $(-\infty, -3) \cup (-3,3) \cup (3, \infty)$

228. $f(x) =\arctan(\ln(2x-1))$

     resposta
     $\left(\dfrac{1}{2}, \infty \right)$
229. $f(x) = \text{arccot}(\sqrt{2x-1})$

     resposta
     $\left[\dfrac{1}{2}, \infty \right)$

230. $f(x) = \text{arcsec}(12x)$

     resposta
     $\left(-\infty, -\dfrac{1}{12}\right] \cup \left[\dfrac{1}{12}, \infty\right)$

231. $f(x) = \text{arccsc}(x+5)$

     resposta
     $(-\infty, -6] \cup [-4, \infty)$

232. $f(x) = \text{arcsec}\left(\dfrac{x^3}{8}\right)$

     resposta
     $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$
233. $f(x) = \text{arccsc}\left(e^{2x}\right)$

     resposta
     $[0, \infty)$

234. Mostre que $\text{arcsec}(x) = \arccos \left( \dfrac{1}{x} \right)$ para $|x| \geq 1$ contanto que usemos $\left[0, \dfrac{\pi}{2} \right) \cup \left( \dfrac{\pi}{2}, \pi \right]$ como a imagem de $f(x) = \text{arcsec}(x)$.

235. Mostre que $\text{arccsc}(x) = \arcsin \left( \dfrac{1}{x} \right)$ para $|x| \geq 1$ contanto que usemos $\left[ -\dfrac{\pi}{2}, 0 \right) \cup \left(0, \dfrac{\pi}{2} \right]$ como a imagem de $f(x) = \text{arccsc}(x)$.

236. Mostre que $\arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2}$ para $-1 \leq x \leq 1$.

237.  

238. Use a imagem a seguir para mostrar que \[\arctan(1) + \arctan(2) + \arctan(3) = \pi\]

     

     1. Claramente $\triangle AOB$ e $\triangle BCD$ são triângulos retângulos porque a reta que passa por $O$ e $A$ e a reta que passa por $C$ e $D$ são perpendiculares ao eixo $x$. Use a fórmula da distância para mostrar que $\triangle BAD$ também é um triângulo retângulo (com $\angle BAD$ sendo o ângulo reto), mostrando que os lados do triângulo satisfazem o Teorema de Pitágoras.

     2. Use $\triangle AOB$ para mostrar que $\alpha = \arctan(1)$
     3. Use $\triangle BAD$ para mostrar que $\beta = \arctan(2)$
     4. Use $\triangle BCD$ para mostrar que $\gamma = \arctan(3)$

     5. Use o fato de que $O$, $B$ e $C$ estão todos no eixo $x$ para concluir que $\alpha + \beta + \gamma = \pi$. Assim $\arctan(1) + \arctan(2) + \arctan(3) = \pi$.