Trigonometria

29 Gráficos das Funções Trigonométricas

Nos Exercícios 1 - 12, represente graficamente um ciclo da função dada. Indique o período, amplitude, mudança de fase e mudança vertical da função.

1. $y = 3\sin(x)$

   resposta
   $y = 3\sin(x)$
   Período: $2\pi$
   Amplitude: $3$
   Mudança de Fase: $0$
   Deslocamento Vertical: $0$
   

   

2. $y = \sin(3x)$

   resposta
   $y = \sin(3x)$
   Período: $\dfrac{2\pi}{3}$
   Amplitude: $1$
   Mudança de Fase: $0$
   Deslocamento Vertical: $0$
   

   

3. $y = -2\cos(x)$

   resposta
   $y = -2\cos(x)$
   Período: $2\pi$
   Amplitude: $2$
   Mudança de Fase: $0$
   Deslocamento Vertical: $0$
   

   

4. $y = \cos \left( x - \dfrac{\pi}{2} \right)$

   resposta
   $y = \cos \left( x - \dfrac{\pi}{2} \right)$
   Período: $2\pi$
   Amplitude: $1$
   Mudança de Fase: $\dfrac{\pi}{2}$
   Deslocamento Vertical: $0$
   

   

5. $y = -\sin \left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)$

   resposta
   $y = -\sin \left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)$
   Período: $2\pi$
   Amplitude: $1$
   Mudança de Fase: $-\dfrac{\pi}{3}$
   Deslocamento Vertical: $0$
   

   

6. $y = \sin(2x - \pi)$

   resposta
   $y = \sin(2x - \pi)$
   Período: $\pi$
   Amplitude: $1$
   Mudança de Fase: $\dfrac{\pi}{2}$
   Deslocamento Vertical: $0$
   

   

7. $y = -\dfrac{1}{3}\cos \left( \dfrac{1}{2}x + \dfrac{\pi}{3} \right)$

   resposta
   $y = -\dfrac{1}{3}\cos \left( \dfrac{1}{2}x + \dfrac{\pi}{3} \right)$
   Período: $4\pi$
   Amplitude: $\dfrac{1}{3}$
   Mudança de Fase: $-\dfrac{2\pi}{3}$
   Deslocamento Vertical: $0$
   

   

8. $y = \cos (3x - 2\pi) + 4$

   resposta
   $y = \cos (3x - 2\pi) + 4$
   Período: $\dfrac{2\pi}{3}$
   Amplitude: $1$
   Mudança de Fase: $\dfrac{2\pi}{3}$
   Deslocamento Vertical: 4
   

   

9. $y = \sin \left( -x - \dfrac{\pi}{4} \right) - 2$

   resposta
   $y = \sin \left( -x - \dfrac{\pi}{4} \right) - 2$
   Período: $2\pi$
   Amplitude: $1$
   Mudança de Fase: $-\dfrac{\pi}{4}$ (É necessário usar
   $y = -\sin \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) - 2 $ para encontrar isso.)^{*Dois ciclos do gráfico são mostrados para ilustrar a discrepância.}
   Deslocamento Vertical: $-2$
   

   

10. $y = \dfrac{2}{3} \cos \left( \dfrac{\pi}{2} - 4x \right) + 1$

    resposta
    $y = \dfrac{2}{3} \cos \left( \dfrac{\pi}{2} - 4x \right) + 1$
    Período: $\dfrac{\pi}{2}$
    Amplitude: $\dfrac{2}{3}$
    Mudança de Fase: $\dfrac{\pi}{8}$ (É necessário usar
    $y = \dfrac{2}{3} \cos \left( 4x - \dfrac{\pi}{2} \right) + 1$ para encontrar isso.)
    Deslocamento Vertical: $1$
    

    

11. $y = -\dfrac{3}{2} \cos \left( 2x + \dfrac{\pi}{3} \right) - \dfrac{1}{2}$

    resposta
    $y = -\dfrac{3}{2} \cos \left( 2x + \dfrac{\pi}{3} \right) - \dfrac{1}{2}$
    Período: $\pi$
    Amplitude: $\dfrac{3}{2}$
    Mudança de Fase: $-\dfrac{\pi}{6}$
    Deslocamento Vertical: $-\dfrac{1}{2}$
    

    

12. $y = 4\sin (-2\pi x + \pi)$

    resposta
    $y = 4\sin (-2\pi x + \pi)$
    Período: $1$
    Amplitude: $4$
    Mudança de Fase: $\dfrac{1}{2}$ (É necessário usar
    $y = -4\sin (2\pi x - \pi)$ para encontrar isso.)
    Deslocamento Vertical: $0$
    

    

Nos Exercícios 13 - 24, represente graficamente um ciclo da função dada. Indique o período da função.

13. $y = \tan \left(x - \dfrac{\pi}{3} \right)$

    resposta
    $y = \tan \left(x - \dfrac{\pi}{3} \right)$
    Período: $\pi$
    

    

14. $y = 2\tan \left( \dfrac{1}{4}x \right) - 3$

    resposta
    $y = 2\tan \left( \dfrac{1}{4}x \right) - 3$
    Período: $4\pi$

    

15. $y = \dfrac{1}{3}\tan(-2x - \pi) + 1$

    resposta
    $y = \dfrac{1}{3}\tan(-2x - \pi) + 1$
    é equivalente a
    $y = -\dfrac{1}{3}\tan(2x + \pi) + 1$
    Período: $\dfrac{\pi}{2}$
    

    

16. $y = \sec \left( x - \dfrac{\pi}{2} \right)$

    resposta
    $y = \sec \left( x - \frac{\pi}{2} \right)$
    Comece com $y = \cos \left( x - \frac{\pi}{2} \right)$
    Período: $2\pi$
    

    

17. $y = -\csc \left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)$

    resposta
    $y = -\csc \left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)$
    Comece com $y = -\sin \left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)$
    Período: $2\pi$

    

18. $y = -\dfrac{1}{3} \sec \left( \dfrac{1}{2}x + \dfrac{\pi}{3} \right)$

    resposta
    $y = -\dfrac{1}{3} \sec \left( \dfrac{1}{2}x + \dfrac{\pi}{3} \right)$
    Comece com $y = -\dfrac{1}{3}\cos \left( \dfrac{1}{2}x + \dfrac{\pi}{3} \right)$
    Período: $4\pi$

    

19. $y = \csc (2x - \pi)$

    resposta
    $y = \csc (2x - \pi)$
    Comece com $y = \sin(2x - \pi)$
    Período: $\pi$
    

    

20. $y = \sec(3x - 2\pi) + 4$

    resposta
    $y = \sec(3x - 2\pi) + 4$
    Comece com $y = \cos (3x - 2\pi) + 4$
    Período: $\dfrac{2\pi}{3}$
    

    

21. $y = \csc \left( -x - \dfrac{\pi}{4} \right) - 2$

    resposta
    $y = \csc \left( -x - \dfrac{\pi}{4} \right) - 2$
    Comece com $y = \sin \left( -x - \dfrac{\pi}{4} \right) - 2$
    Período: $2\pi$
    

    

22. $y = \cot \left( x + \dfrac{\pi}{6} \right)$

    resposta
    $y = \cot \left( x + \dfrac{\pi}{6} \right)$
    Período: $\pi$
    

    

23. $y = -11\cot \left( \dfrac{1}{5} x \right)$

    resposta
    $y = -11\cot \left( \dfrac{1}{5} x \right)$
    Período: $5\pi$
    

    

24. $y = \dfrac{1}{3} \cot \left( 2x + \dfrac{3\pi}{2} \right) + 1$

    resposta
    $y = \dfrac{1}{3} \cot \left( 2x + \dfrac{3\pi}{2} \right) + 1$
    Período: $\dfrac{\pi}{2}$

    

Nos Exercícios 25 - 34, mostre que a função é uma senóide reescrevendo-a nas formas $C(x) = A \cos(\omega x + \phi) + B$ e $S(x) = A \sin(\omega x + \phi) + B$ para $\omega > 0$ e $0 \leq \phi < 2\pi$.

25. $f(x) = \sqrt{2}\sin(x) + \sqrt{2}\cos(x) + 1$

    resposta
    $f(x) = \sqrt{2}\sin(x) + \sqrt{2}\cos(x) + 1 = 2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) + 1 = 2\cos\left(x + \dfrac{7\pi}{4}\right) + 1$
26. $f(x) = 3\sqrt{3}\sin(3x) - 3\cos(3x)$

    resposta
    $f(x) = 3\sqrt{3}\sin(3x) - 3\cos(3x) = 6\sin\left(3x + \dfrac{11\pi}{6}\right) = 6\cos\left(3x + \dfrac{4\pi}{3}\right)$

27. $f(x) = -\sin(x) + \cos(x) - 2$

    resposta
    $f(x) = -\sin(x) + \cos(x) - 2 = \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{3\pi}{4}\right) - 2 = \sqrt{2}\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) - 2$
28. $f(x) = -\dfrac{1}{2}\sin(2x) - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x)$

    resposta
    $f(x) = -\dfrac{1}{2}\sin(2x) - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x) = \sin\left(2x + \dfrac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(2x + \dfrac{5\pi}{6}\right)$

29. $f(x) = 2\sqrt{3} \cos(x) - 2\sin(x)$

    resposta
    $f(x) = 2\sqrt{3} \cos(x) - 2\sin(x) = 4\sin\left(x+\dfrac{2\pi}{3} \right) = 4\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right)$
30. $f(x) = \dfrac{3}{2} \cos(2x) - \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \sin(2x) + 6$

    resposta
    $f(x) = \dfrac{3}{2} \cos(2x) - \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \sin(2x) + 6 =3\sin\left(2x + \dfrac{5\pi}{6}\right) + 6 = 3\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) + 6$

31. $f(x) = -\dfrac{1}{2} \cos(5x) -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin(5x)$

    resposta
    $f(x) = -\dfrac{1}{2} \cos(5x) -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin(5x) = \sin\left(5x + \dfrac{7\pi}{6}\right) = \cos\left(5x + \dfrac{2\pi}{3}\right)$
32. $f(x) = -6\sqrt{3} \cos(3x) - 6\sin(3x) - 3$

    resposta
    $f(x) = -6\sqrt{3} \cos(3x) - 6\sin(3x) - 3 = 12\sin\left(3x + \dfrac{4\pi}{3}\right) - 3 = 12\cos\left(3x + \dfrac{5\pi}{6}\right) - 3$

33. $f(x) = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} \sin(x) -\dfrac{5\sqrt{2}}{2} \cos(x)$

    resposta
    $f(x) = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} \sin(x) -\dfrac{5\sqrt{2}}{2} \cos(x) = 5\sin\left(x + \dfrac{7\pi}{4}\right)= 5\cos\left(x + \dfrac{5\pi}{4}\right)$
34. $f(x) =3 \sin \left(\dfrac{x}{6}\right) -3\sqrt{3} \cos \left(\dfrac{x}{6}\right)$

    resposta
    $f(x) =3\sin\left(\dfrac{x}{6}\right) -3\sqrt{3} \cos\left(\dfrac{x}{6}\right) = 6\sin\left( \dfrac{x}{6}+\dfrac{5\pi}{3}\right)= 6\cos\left( \dfrac{x}{6}+\dfrac{7\pi}{6}\right) $

35. Nos Exercícios 25 - 34, você deve ter notado uma relação entre as fases $\phi$ para $S(x)$ e $C(x)$. Mostre que se $f(x) = A \sin(\omega x + \alpha) + B$, então $f(x) = A \cos(\omega x + \beta) + B$ onde $\beta = \alpha - \dfrac{\pi}{2}$.

36. Seja $\phi$ um ângulo medido em radianos e seja $P(a,b)$ um ponto no lado terminal de $\phi$ quando ele é desenhado na posição padrão. Use identidades conhecidas para mostrar que $f(x) = a \, \sin(\omega x) + b\, \cos(\omega x) + B$ (com $\omega > 0$) pode ser reescrito como $f(x) = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\sin(\omega x + \phi) + B$ .

37.  

Nos Exercícios 38 - 43, verifique a identidade representando graficamente os lados direito e esquerdo no GeoGebra.

38. $\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1$
39. $\sec^{2}(x) - \tan^{2}(x) = 1$
40. $\cos(x) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$

41. $\tan(x+\pi) = \tan(x)$
42. $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$
43. $\tan\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{\sin(x)}{1+\cos(x)}$

Nos Exercícios 44 - 50, represente graficamente a função com a ajuda do GeoGebra e discuta as questões apresentadas com seus colegas.

44. $f(x) = \cos(3x) + \sin(x)$. Esta função é periódica? Se sim, qual é o período?
45. $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$. Qual parece ser a assíntota horizontal do gráfico?
46. $f(x) = x \sin(x)$. Faça um gráfico $y = \pm x$ no mesmo conjunto de eixos e descreva o comportamento de $f$.
47. $f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)$. O que está acontecendo como $x \rightarrow 0$?
48. $f(x) = x - \tan(x)$. Faça um gráfico $y = x$ no mesmo conjunto de eixos e descreva o comportamento de $f$.
49. $f(x) = e^{-0.1x} \left( \cos(2x) + \sin(2x)\right)$. Faça um gráfico $y = \pm e^{-0.1x}$ no mesmo conjunto de eixos e descreva o comportamento de $f$.
50. $f(x) = e^{-0.1x} \left( \cos(2x) + 2\sin(x)\right)$. Faça um gráfico $y = \pm e^{-0.1x}$ no mesmo conjunto de eixos e descreva o comportamento de $f$.

51. Mostre que uma função constante $f$ é periódica mostrando que $f(x + 117) = f(x)$ para todos os números reais $x$. Em seguida, mostre que $f$ não tem período, mostrando que você não pode encontrar um menor número $p$ tal que $f(x + p) = f(x)$ para todos os números reais $x$. Dito de outra forma, mostre que $f(x + p) = f(x)$ para todos os números reais $x$ para TODOS os valores de $p > 0$, então não existe menor valor para satisfazer a definição de `período'.