Fundamentos: Relações e Funções

1 Intervalos e Plano Cartesiano

1. Preencha o quadro abaixo:

   Conjunto de números reais	Notação de intervalo	Região na reta real
   $\{x\,|\,-1\leq x< 5\}$
   	$[0,3)$
   $\{x\,|\, -5 < x \leq 0 \}$
   	$(-3,3)$
   $\{x\,| \, x \leq 3 \}$
   	$(\infty, 9)$
   $\{x\,| \, x \geq -3 \}$

   resposta
   $~$

   Conjunto de números reais	Notação de intervalo	Região na reta real
   $\{x\,|\,-1\leq x< 5\}$	$[-1,5)$
   $\{x\,|\,0\leq x < 3\}$	$[0,3)$
   $\{x\,|\, 2 < x \leq 7 \}$	$(2,7]$
   $\{x\,|\, -5 < x \leq 0 \}$	$(-5,0]$
   $\{x\,|\, -3 < x < 3 \}$	$(-3,3)$
   $\{x\,|\,5\leq x \leq 7\}$	$[5,7]$
   $\{x\,| \, x \leq 3 \}$	$(\infty, 3]$
   $\{x\,| \, x < 9 \}$	$(\infty, 9)$
   $\{x\,| \, x > 4 \}$	$(4, \infty)$
   $\{x\,| \, x \geq -3 \}$	$[-3, \infty)$

Nos exercícios 2 - 7, encontre a interseção ou união indicada e simplifique se possível. Expresse suas respostas em notação de intervalo.

2. $(-1,5] \cap [0,8)$

   resposta
   $(-1,5] \cap [0,8) = [0,5]$

3. $(-1,1) \cup [0,6]$

   resposta
   $(-1,1) \cup [0,6] = (-1,6]$

4. $(-\infty,4]\cap (0,\infty)$

   resposta
   $(-\infty,4]\cap (0,\infty) = (0,4]$

5. $(-\infty,0) \cap [1,5]$

   resposta
   $(-\infty,0) \cap [1,5] = \emptyset$

6. $(-\infty, 0) \cup [1,5]$

   resposta
   $(-\infty, 0) \cup [1,5] = (-\infty,0) \cup [1,5]$

7. $(-\infty, 5] \cap [5,8)$

   resposta
   $(-\infty, 5] \cap [5,8) = \left\{ 5\right\}$

Nos exercícios 8 - 19, escreva o conjunto usando notação de intervalo.

8. $\{x\,|\, x \neq 5 \}$

   resposta
   $(-\infty, 5) \cup (5, \infty)$

9. $\{x\,|\, x \neq -1 \}$

   resposta
   $(-\infty, -1) \cup (-1, \infty)$

10. $\{x\,|\, x \neq -3,\, 4 \}$

    resposta
    $(-\infty, -3) \cup (-3, 4)\cup (4, \infty)$

11. $\{x\,|\, x \neq 0, \, 2 \}$

    resposta
    $(-\infty, 0) \cup (0, 2)\cup (2, \infty)$

12. $\{x\,|\, x \neq 2, \, -2 \}$

    resposta
    $(-\infty, -2) \cup (-2, 2)\cup (2, \infty)$

13. $\{x\,|\, x \neq 0,\, \pm 4 \}$

    resposta
    $(-\infty, -4) \cup (-4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

14. $\{x\,|\, x \leq -1 \, \text{ou} \, x \geq 1 \}$

    resposta
    $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$

15. $\{x\,|\, x < 3 \, \text{ou} \, x \geq 2 \}$

    resposta
    $(-\infty, 3) \cup [2, \infty)$

16. $\{x\,|\, x \leq -3 \, \text{ou} \, x > 0 \}$

    resposta
    $(-\infty, -3] \cup (0, \infty)$

17. $\{x\,|\, x \leq 5 \, \text{ou} \, x = 6 \}$

    resposta
    $(-\infty, 5] \cup \{6\}$

18. $\{x\,|\, x > 2 \, \text{ou} \, x = \pm 1 \}$

    resposta
    $\{-1\} \cup \{1\} \cup (2, \infty)$

19. $\{x\,|\, -3 < x < 3 \, \text{ou} \, x = 4 \}$

    resposta
    $(-3,3) \cup \{4\}$

20. Marque e rotule os pontos $\;A(-3, -7)$, $\;B(1.3, -2)$, $\;C(\pi, \sqrt{10})$, $\;D(0, 8)$, $\;E(-5.5, 0)$, $\;F(-8, 4)$, $\;G(9.2, -7.8)$ e $H(7, 5)$ no plano cartesiano dado abaixo.

    

    resposta
    Os pontos requeridos $\;A(-3, -7)$, $\;B(1.3, -2)$, $\;C(\pi, \sqrt{10})$, $\;D(0, 8)$, $\;E(-5.5, 0)$, $\;F(-8, 4)$, $\;G(9.2, -7.8)$, e $H(7, 5)$ estão marcados no plano cartesiano abaixo.

    

21. Para cada ponto dado no exercício  20 acima

    • Identifique o quadrante ou eixo em que o ponto está.
    • Encontre o ponto simétrico ao ponto dado em torno do eixo $x$.
    • Encontre o ponto simétrico ao ponto dado em torno do eixo $y$.
    • Encontre o ponto simétrico ao ponto dado em torno da origem.

    resposta

    1. O ponto $A(-3, -7)$

       • está no Quadrante III
       • é simétrico em torno do eixo $x$ com $(-3, 7)$
       • é simétrico em torno do eixo $y$ com $(3, -7)$
       • é simétrico em torno da origem com $(3, 7)$

    2. O ponto $B(1.3, -2)$

       • está no Quadrante IV
       • é simétrico em torno do eixo $x$ com $(1.3, 2)$
       • é simétrico em torno do eixo $y$ com $(-1.3, -2)$
       • é simétrico em torno da origem com $(-1.3, 2)$

    1. O ponto $C(\pi, \sqrt{10})$

       • está no Quadrante I
       • é simétrico em torno do eixo $x$ com { $(\pi, -\sqrt{10})$}
       • é simétrico em torno do eixo $y$ com { $(-\pi, \sqrt{10})$}
       • é simétrico em torno da origem com { $(-\pi, -\sqrt{10})$}

    2. O ponto $D(0, 8)$

       • está sobre o eixo $y$ positivo
       • é simétrico em torno do eixo $x$ com $(0, -8)$
       • é simétrico em torno do eixo $y$ com $(0, 8)$
       • é simétrico em torno da origem com $(0, -8)$

    1. O ponto $E(-5.5, 0)$

       • está sobre o eixo $x$ negativo
       • é simétrico em torno do eixo $x$ com $(-5.5, 0)$
       • é simétrico em torno do eixo $y$ com $(5.5, 0)$
       • é simétrico em torno da origem com $(5.5, 0)$

    2. O ponto $F(-8, 4)$

       • está no Quadrante II
       • é simétrico em torno do eixo $x$ com $(-8, -4)$
       • é simétrico em torno do eixo $y$ com $(8, 4)$
       • é simétrico em torno da origem com $(8, -4)$

    1. O ponto $G(9.2, -7.8)$

       • está no Quadrante IV
       • é simétrico em torno do eixo $x$ com $(9.2, 7.8)$
       • é simétrico em torno do eixo $y$ com { $(-9.2, -7.8)$}
       • é simétrico em torno da origem com $(-9.2, 7.8)$

    2. O ponto $H(7, 5)$

       • está no Quadrante I
       • é simétrico em torno do eixo $x$ com $(7, -5)$
       • é simétrico em torno do eixo $y$ com $(-7, 5)$
       • é simétrico em torno da origem com $(-7, -5)$

Nos exercícios 22 - 29, encontre a distância $d$ entre os pontos e o ponto médio $M$ do segmento de reta que os conecta.

22. $(1,2)$, $(-3,5)$

    resposta
    $d = 5$, $M = \left(-1, \frac{7}{2} \right)$
23. $(3, -10)$, $(-1, 2)$

    resposta
    $d = 4 \sqrt{10}$, $M = \left(1, -4 \right)$

24. $\left( \dfrac{1}{2}, 4\right)$, $\left(\dfrac{3}{2}, -1\right)$

    resposta
    $d = \sqrt{26}$, $M = \left(1, \frac{3}{2} \right)$
25. $\left(- \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{2} \right)$, $\left(\dfrac{7}{3}, 2\right)$

    resposta
    $d= \frac{\sqrt{37}}{2}$, $M = \left(\frac{5}{6}, \frac{7}{4} \right)$

26. $\left( \dfrac{24}{5}, \dfrac{6}{5} \right)$, $\left( -\dfrac{11}{5}, -\dfrac{19}{5} \right)$.

    resposta
    $d = \sqrt{74}$, $M = \left(\frac{13}{10}, -\frac{13}{10} \right)$
27. $\left(\sqrt{2}, \sqrt{3}\right)$, $\left(-\sqrt{8}, -\sqrt{12}\right)$

    resposta
    $d= 3\sqrt{5}$, $M = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

28. $\left(2 \sqrt{45}, \sqrt{12} \right)$, $\left(\sqrt{20}, \sqrt{27} \right)$.

    resposta
    $d = \sqrt{83}$, $M = \left(4 \sqrt{5}, \frac{5 \sqrt{3}}{2} \right)$
29. $(0, 0)$, $(x, y)$

    resposta
    $d = \sqrt{x^2 + y^2}$, $M = \left( \frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)$

30. Encontre todos os pontos da forma $(x, -1)$ que estão a $4$ unidades do ponto $(3,2)$.

    resposta
    $(3 + \sqrt{7}, -1)$, $(3-\sqrt{7}, -1)$
31. Encontre todos os pontos do eixo $y$ que estão a $5$ unidades do ponto $(-5,3)$.

    resposta
    $(0,3)$

32. Encontre todos os pontos do eixo $x$ que estão a $2$ unidades do ponto $(-1,1)$.

    resposta
    $(-1+\sqrt{3},0)$, $(-1-\sqrt{3},0)$
33. Encontre todos os pontos da forma $(x,-x)$ que estão a $1$ unidade da origem.

    resposta
    $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$, $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

34. Vamos assumir por um momento que nós estamos de pé sobre a origem com o eixo $y$ positivo apontando para o Norte e o eixo $x$ positivo para o Leste. Nosso detector de mapinguaris^{*O Mapinguari é uma criatura lendária da Amazônia. Usamos mapinguari sempre que o problema original faz referência a um Sasquatch (Pé grande).} nos diz que o mapinguari está a $3$ milhas a oeste e $4$ milhas ao sul da nossa posição atual. Quais são as coordenadas de sua posição. Quão longe ele está de nós? Se ele correr $7$ milhas para leste, qual será sua nova posição?

    resposta
    $(-3, -4)$, $5$ milhas, $(4, -4)$

35. Verifique a fórmula da distância nos casos em que:

    1. Os pontos estão alinhados verticalmente. (Dica: Use $P(a, y_{\text{$0$}})$ e $Q(a, y_{\text{$1$}})$.)
    2. Os pontos estão alinhados horizontalmente. (Dica: Use $P(x_{\text{$0$}}, b)$ e $Q(x_{\text{$1$}}, b)$.)
    3. Os pontos são de fato o mesmo ponto. (Sem dicas!)

36. Verifique a fórmula do ponto médio mostrando que a distância entre $P(x_{\text{$1$}}, y_{\text{$1$}})$ e $M$ e a distância entre $M$ e $Q(x_{\text{$2$}}, y_{\text{$2$}})$ são ambas iguais a metade da distância entre $P$ e $Q$.

37. Mostre que os pontos $A$, $\;B$ e $C$ abaixo são vértices de um triângulo retângulo.

    1. $A(-3,2)$, $\;B(-6,4)$, e $C(1,8)$

    2. $A(-3, 1)$, $\;B(4, 0)$ e $C(0, -3)$

    resposta

    1. A distância de $A$ a $B$ é $|AB| = \sqrt{13}$, a distância de $A$ a $C$ é $|AC| = \sqrt{52}$, e a distância de $B$ a $C$ é $|BC| = \sqrt{65}$. Uma vez que $\left(\sqrt{13}\right)^2 + \left( \sqrt{52} \right)^2 = \left( \sqrt{65} \right)^2$, podemos garantir pelo recíproco do Teorema de Pitágoras que o triângulo é um triângulo retângulo.
    2. Mostre que $|AC|^{2} + |BC|^{2} = |AB|^{2}$

38. Encontre o ponto $D(x, y)$ tal que os pontos $A(-3, 1)$, $\;B(4, 0)$, $\;C(0, -3)$ e $D$ são os cantos de um quadrado. Justifique sua resposta.

39. Discuta com seus colegas quantos números existem no intervalo $(0,1)$.

40. O mundo não é plano. Assim, o plano cartesiano não pode ser o fim da história. Discuta com seus colegas como vocês estenderiam as coordenadas cartesianas para representar o mundo tridimensional. Como ficariam as fórmulas da distância e do ponto médio, assumindo que esses conceitos façam sentido?