Fundamentos: Relações e Funções

2 Relações

Resumo do capítulo

Uma relação é simplesmente um conjunto de pares ordenados. Este capítulo trata da leitura de relações a partir de conjuntos, gráficos e equações, extraindo delas o domínio e a imagem, testando simetria em relação aos eixos e à origem, e encontrando as interseções do gráfico com os eixos coordenados.

Nos exercícios 1 - 20, esboce o gráfico da relação dada.

{$(-3, 9)$, $\;(-2, 4)$, $\;(-1, 1)$, $\;(0, 0)$, $\;(1, 1)$, $\;(2, 4)$, $\;(3, 9)\}$
resposta
$~$
{$(-2, 0)$, $\;(-1, 1)$, $\;(-1, -1)$, $\;(0, 2)$, $\;(0, -2)$, $\;(1, 3)$, $\;(1, -3)\}$
resposta
$~$

$\left\{ \left(m, 2m \right) \, | \, n = 0, \pm 1, \pm 2 \right\}$
resposta
$~$
$\left\{ \left(\frac{6}{k}, k \right) \, | \, k = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6 \right\}$
resposta
$~$

$\left\{ \left(n, 4 - n^2\right) \, | \, n = 0, \pm 1, \pm 2 \right\}$
resposta
$~$
$\left\{ \left(\sqrt{j}, j \right) \, | \, j = 0, 1, 4, 9 \right\}$
resposta
$~$

$\left\{ \left(x, -2 \right) \, | \, x > -4 \right\}$
resposta
$~$
$\left\{ \left(x, 3 \right) \, | \, x \leq 4 \right\}$
resposta
$~$

$\left\{ \left(-1, y \right) \, | \, y > 1 \right\}$
resposta
$~$
$\left\{ \left(2, y \right) \, | \, y \leq 5 \right\}$
resposta
$~$

$\{ (-2, y) \, | \, -3 < y \leq 4\}$
resposta
$~$
$\left\{ \left(3,y \right) \, | \, -4 \leq y < 3 \right\}$
resposta
$~$

$\{ (x, 2) \, | \, -2 \leq x < 3 \}$
resposta
$~$
$\left\{ \left(x,-3 \right) \, | \, -4 < x \leq 4 \right\}$
resposta
$~$

$\{ (x, y) \, | \, x > -2 \}$
resposta
$~$
$\left\{ \left(x,y \right) \, | \, x \leq 3 \right\}$
resposta
$~$

$\left\{ \left(x,y \right) \, | \, y < 4 \right\}$
resposta
$~$
$\left\{ \left(x,y \right) \, | \, x \leq 3, \, y < 2 \right\}$
resposta
$~$

$\left\{ \left(x,y \right) \, | \, x > 0, \, y < 4 \right\}$
resposta
$~$
$\{ (x, y) \, | \, -\sqrt{2} \leq x \leq \frac{2}{3}, \; \pi < y \leq \frac{9}{2} \}$
resposta
$~$

Nos exercícios 21 - 30, descreva a relação dada por enumeração ou por compreensão.

$~$
resposta
$A = \{(-4, -1), (-2, 1), (0, 3), (1, 4)\}$
$~$

resposta
$B = \left\{ \left(x,3 \right) \, | \, x \geq -3 \right\}$

$~$

resposta
$C = \{ \left(2,y) \, | \, y > -3 \right\}$
$~$
resposta
$D = \{ \left(-2,y) \, | \, -4 \leq y < 3 \right\}$

$~$
resposta
$E = \left\{ \left(x,2 \right) \, | \, -4 < x \leq 3 \right\}$
$~$

resposta
$F = \{ \left(x,y) \, | \, y \geq 0 \right\}$

$~$

resposta
$G = \left\{ \left(x,y \right) \, | \, x > -2 \right\}$
$~$
resposta
$H = \left\{ \left(x,y \right) \, | \, -3 < x \leq 2 \right\}$

$~$

resposta
$I = \{ \left(x,y) \, | \, x \geq 0, \! y \geq 0\right\}$
$~$
resposta
$J = \{(x, y) \, | \, -4 < x < 5, \; -3 < y < 2\}$

Nos exercícios 31 - 36, esboce o gráfico da reta dada.

$x = -2$
resposta
$~$
$x = 3$
resposta
$~$

$y = 3$
resposta
$~$
$y = -2$
resposta
$~$

$x=0$
resposta
$~$
$y=0$
resposta
$~$

Algumas relações são bem fáceis de descrever em palavras ou por enumeração mas bastante difíceis, se não impossíveis, de se representar graficamente. Discuta com seus colegas como esboçar o gráfico das relações dadas nos exercícios 37 - 40. Note que na notação abaixo estamos usando as reticências, …, para denotar que a lista não termina, mas continua seguindo o padrão estabelecido indefinidamente. Para as relações nos exercícios 37 e 38, dê dois exemplos de pontos que pertencem a relação e dois pontos que não pertencem.

$\{(x, y) \, | \, x \text{ é um inteiro ímpar, e } y \text{ é um inteiro par.}\}$
$\{(x, 1) \, | \, x \text{ é um número irracional}\}$
$\{(1, 0), (2, 1), (4, 2), (8, 3), (16, 4), (32, 5), \ldots \}$
$\{\ldots, (-3, 9), (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), \ldots \}$