Fundamentos: Relações e Funções
6 Gráficos de Equações
Resumo do capítulo
Antes de existir uma calculadora gráfica, o esboço do gráfico de uma equação era feito localizando suas interseções com os eixos, testando sua simetria em relação aos eixos e à origem, e depois marcando pontos amostrais suficientes para inferir seu formato. Este capítulo pratica exatamente esse processo, que continua sendo a base para entender por que um gráfico tem a forma que tem.
- Para cada equação dada abaixoresposta
- Encontre as interseções do gráfico com os eixos $x$ e $y$ , caso existam.
- Isole a variável $y$ e atribua valores à variável $x$ para criar uma tabela de pontos sobre o gráfico da equação.
- Marque os pontos amostrais e crie uma esboço aproximado do gráfico da equação.
- Teste por simetria com relação aos eixos $x$ (o par $(x,-y)$ satisfaz a equação sempre que o par $(x,y)$ satisfaz) e $y$ (o par $(-x,y)$ satisfaz a equação sempre que o par $(x,y)$ satisfaz) e com relação à origem (o par $(-x,-y)$ satisfaz a equação sempre que o par $(x,y)$ satisfaz). Se a equação falha em qualquer dos teste de simetria, encontre um ponto do gráfico que viola a simetria.
- $y = x^{2} + 1$
- $y = x^2-2x-8$
- $y = x^{3} - x$
- $y = \frac{x^3}{4} - 3x$
- $y = \sqrt{x - 2}$
- $y = 2 \sqrt{x+4} - 2$
- $3x - y = 7$
- $3x-2y = 10$
- $(x+2)^2+y^2 = 16$
- $x^{2} - y^{2} = 1$
- $4y^2 - 9x^2 = 36$
- $x^{3}y = -4$
- $y = x^{2} + 1$
O gráfico não tem interseções com o eixo $x$
interseção com eixo $y$: $(0, 1)$
$\begin{array}{|r||c|c|} \hline x & y & (x,y) \\ \hline -2 & 5 & (-2, 5) \\ \hline -1 & 2 & (-1, 2) \\ \hline 0 & 1 & (0, 1) \\ \hline 1 & 2 & (1, 2) \\ \hline 2 & 5 & (2, 5) \\ \hline \end{array} $
O gráfico não é simétrico com relação ao eixo $x$ (e.g. $(2, 5)$ está sobre o gráfico mas $(2, -5)$ não está)
O gráfico é simétrico com relação ao eixo $y$
O gráfico não é simétrico com relação à origem (e.g. $(2, 5)$ está sobre o gráfico mas $(-2, -5)$ não está)
- $y = x^{2} - 2x - 8$
interseção com o eixo $x$: $(4,0)$, $(-2,0)$
interseção com o eixo $y$: $(0, -8)$
$\begin{array}{|r||c|c|} \hline x & y & (x,y) \\ \hline -3 & 7 & (-3,7) \\ \hline -2 & 0 & (-2, 0) \\ \hline -1 & -5 & (-1, -5) \\ \hline 0 & -8 & (0, -8) \\ \hline 1 & -9 & (1, -9) \\ \hline 2 & -8 & (2, -8) \\ \hline 3 & -5 & (3,-5) \\ \hline 4 & 0 & (4,0) \\ \hline 5 & 7 & (5,7) \\ \hline \end{array}$
O gráfico não é simétrico com relação ao eixo $x$ (e.g. $(-3, 7)$ está sobre o gráfico mas $(-3, -7)$ não está)
O gráfico não é simétrico com relação ao eixo $y$ (e.g. $(-3, 7)$ está sobre o gráfico mas $(3, 7)$ não está)
O gráfico não é simétrico com relação à origem (e.g. $(-3, 7)$ está sobre o gráfico mas $(3, -7)$ não está)
- $y = x^{3} - x$
interseção com o eixo $x$: $(-1, 0), (0, 0), (1, 0)$
interseção com o eixo $y$: $(0, 0)$
$\begin{array}{|r||c|c|} \hline x & y & (x,y) \\ \hline -2 & -6 & (-2, -6) \\ \hline -1 & 0 & (-1, 0) \\ \hline 0 & 0 & (0, 0) \\ \hline 1 & 0 & (1, 0) \\ \hline 2 & 6 & (2, 6) \\ \hline \end{array} $
O gráfico não é simétrico com relação ao eixo $x$. (e.g. $(2, 6)$ está sobre o gráfico mas $(2, -6)$ não está)
O gráfico não é simétrico com relação ao eixo $y$. (e.g. $(2, 6)$ está sobre o gráfico mas $(-2, 6)$ não está)
O gráfico é simétrico com relação à origem.
- $y = \frac{x^3}{4} - 3x$
interseção com o eixo $x$: $\left(\pm 2\sqrt{3}, 0\right), (0, 0)$
interseção com o eixo $y$: $(0,0)$
$\begin{array}{|r||c|c|} \hline x & y & (x,y) \\ \hline -4 & -4 & (-4, -4) \\ \hline -3 & \frac{9}{4} & \left(-3, \frac{9}{4} \right) \\ \hline -2 & 4 & (-2, 4) \\ \hline -1 & \frac{11}{4} & \left(-1, \frac{11}{4}\right) \\ \hline 0 & 0 & (0,0) \\ \hline 1 & -\frac{11}{4} & \left(1, -\frac{11}{4}\right) \\ \hline 2 & -4 & (2, -4) \\ \hline 3 & -\frac{9}{4} & \left(3, -\frac{9}{4} \right) \\ \hline 4 & 4 & (4, 4) \\ \hline \end{array} $
O gráfico não é simétrico com relação ao eixo $x$ (e.g. $(-4, -4)$ está sobre o gráfico mas $(-4, 4)$ não está)
O gráfico não é simétrico com relação ao eixo $y$ (e.g. $(-4, -4)$ está sobre o gráfico mas $(4, -4)$ não está)
O gráfico é simétrico com relação à origem
- $y = \sqrt{x - 2}$
interseção com o eixo $x$: $(2, 0)$
O gráfico não tem interseção com o eixo $y$
$\begin{array}{|r||c|c|} \hline x & y & (x,y) \\ \hline 2 & 0 & (2, 0) \\ \hline 3 & 1 & (3, 1) \\ \hline 6 & 2 & (6, 2) \\ \hline 11 & 3 & (11, 3) \\ \hline \end{array} $
O gráfico não é simétrico com relação ao eixo $x$ (e.g. $(3, 1)$ está sobre o gráfico mas $(3, -1)$ não está)
O gráfico não é simétrico com relação ao eixo $y$ (e.g. $(3, 1)$ está sobre o gráfico mas $(-3, 1)$ não está)
O gráfico não é simétrico com relação à origem (e.g. $(3, 1)$ está sobre o gráfico mas $(-3, -1)$ não está)
- $y = 2 \sqrt{x+4} - 2$
interseção com o eixo $x$: $(-3,0)$
interseção com o eixo $y$: $(0,2)$
$\begin{array}{|r||c|c|} \hline x & y & (x,y) \\ \hline -4 & -2 & (-4, -2) \\ \hline -3 & 0 & (-3,0 ) \\ \hline -2 & 2 \sqrt{2} -2 & \left(-2, \sqrt{2} -2 \right) \\ \hline -1 & 2 \sqrt{3} -2 & \left(-2, \sqrt{3} -2 \right) \\ \hline 0 & 2 & (0, 2) \\ \hline 1 & 2 \sqrt{5} -2 & \left(-2, \sqrt{5} -2 \right) \\ \hline \end{array} $
O gráfico não é simétrico com relação ao eixo $x$ (e.g. $(-4, -2)$ está sobre o gráfico mas $(-4, 2)$ não está)
O gráfico não é simétrico com relação ao eixo $y$ (e.g. $(-4, -2)$ está sobre o gráfico mas $(4, -2)$ não está)
O gráfico não é simétrico com relação à origem (e.g. $(-4, -2)$ está sobre o gráfico mas $(4, 2)$ não está)
- $3x - y = 7$
Reescreva como: $y = 3x - 7$.interseção com o eixo $x$: $(\frac{7}{3}, 0)$
interseção com o eixo $y$: $(0, -7)$
$\begin{array}{|r||c|c|} \hline x & y & (x,y) \\ \hline -2 & -13 & (-2,-13) \\ \hline -1 & -10 & (-1,-10) \\ \hline 0 & -7 & (0, -7) \\ \hline 1 & -4 & (1, -4) \\ \hline 2 & -1 & (2, -1) \\ \hline 3 & 2 & (3, 2) \\ \hline \end{array} $
O gráfico não é simétrico com relação ao eixo $x$ (e.g. $(3, 2)$ está sobre o gráfico mas $(3, -2)$ não está)
O gráfico não é simétrico com relação ao eixo $y$ (e.g. $(3, 2)$ está sobre o gráfico mas $(-3, 2)$ não está)
O gráfico não é simétrico com relação à origem (e.g. $(3, 2)$ está sobre o gráfico mas $(-3, -2)$ não está)
- $3x-2y=10$
Reescreva como: $y = \frac{3x-10}{2}$.interseção com o eixo $x$: $\left(\frac{10}{3}, 0 \right)$
interseção com o eixo $y$: $(0, -5)$
$\begin{array}{|r||c|c|} \hline x & y & (x,y) \\ \hline -2 & -8 & (-2, -8) \\ \hline -1 & -\frac{13}{2} & \left(-1, -\frac{13}{2}\right) \\ \hline 0 & -5 & (0, -5) \\ \hline 1 & -\frac{7}{2} & \left(1, -\frac{7}{2} \right) \\ \hline 2 & -2 & (2, -2) \\ \hline \end{array} $
O gráfico não é simétrico com relação ao eixo $x$ (e.g. $(2, -2)$ está sobre o gráfico mas $(2,2)$ não está)
O gráfico não é simétrico com relação ao eixo $y$ (e.g. $(2, -2)$ está sobre o gráfico mas $(-2, -2)$ não está)
O gráfico não é simétrico com relação à origem (e.g. $(2, -2)$ está sobre o gráfico mas $(-2, 2)$ não está)
- $(x+2)^2+y^2=16$
Reescreva como $y = \pm \sqrt{16-(x+2)^2}$.interseção com o eixo $x$: $(-6, 0)$, $(2,0)$
interseção com o eixo $y$: $\left(0, \pm 2\sqrt{3}\right)$
$\begin{array}{|r||c|c|} \hline x & y & (x,y) \\ \hline -6 & 0 & (-6,0) \\ \hline -4 & \pm 2 \sqrt{3} & \left(-4,\pm 2 \sqrt{3}\right) \\ \hline -2 & \pm 4 & (-2, \pm 4) \\ \hline 0 & \pm 2 \sqrt{3} & \left(0,\pm 2 \sqrt{3}\right) \\ \hline 2 & 0 & (2, 0) \\ \hline \end{array} $
O gráfico é simétrico com relação ao eixo $x$
O gráfico não é simétrico com relação ao eixo $y$ (e.g. $(-6, 0)$ está sobre o gráfico mas $(6, 0)$ não está)
O gráfico não é simétrico com relação à origem (e.g. $(-6, 0)$ está sobre o gráfico mas $(6, 0)$ não está)
- $x^{2} - y^{2} = 1$
Reescreva como: $y = \pm \sqrt{x^{2} - 1}$.interseção com o eixo $x$: $(-1, 0), (1, 0)$
O gráfico não tem interseção com o eixo $y$
$\begin{array}{|r||c|c|} \hline x & y & (x,y) \\ \hline -3 & \pm \sqrt{8} & (-3, \pm \sqrt{8}) \\ \hline -2 & \pm \sqrt{3} & (-2, \pm \sqrt{3}) \\ \hline -1 & 0 & (-1, 0) \\ \hline 1 & 0 & (1, 0) \\ \hline 2 & \pm \sqrt{3} & (2, \pm \sqrt{3}) \\ \hline 3 & \pm \sqrt{8} & (3, \pm \sqrt{8}) \\ \hline \end{array} $
O gráfico é simétrico com relação ao eixo $x$
O gráfico é simétrico com relação ao eixo $y$
O gráfico é simétrico com relação à origem
- $4y^2-9x^2 = 36$
Reescreva como: $y = \pm \frac{\sqrt{9x^2+36}}{2}$.
O gráfico não tem interseção com o eixo $x$
interseção com o eixo $y$: $(0, \pm 3)$
$\begin{array}{|r||c|c|} \hline x & y & (x,y) \\ \hline -4 & \pm 3 \sqrt{5} & \left(-4,\pm 3 \sqrt{5}\right) \\ \hline -2 & \pm 3 \sqrt{2} & \left(-2,\pm 3 \sqrt{2}\right) \\ \hline 0 & \pm 3 & (0, \pm 3) \\ \hline 2 & \pm 3 \sqrt{2} & \left(2,\pm 3 \sqrt{2}\right) \\ \hline 4 & \pm 3 \sqrt{5} & \left(4,\pm 3 \sqrt{5}\right) \\ \hline \end{array}$
O gráfico é simétrico com relação ao eixo $x$
O gráfico é simétrico com relação ao eixo $y$
O gráfico é simétrico com relação à origem
- $x^{3}y = -4$
Reescreva como: $y = -\dfrac{4}{x^{3}}$.O gráfico não tem interseção com o eixo $x$
O gráfico não tem interseção com o eixo $y$
$\begin{array}{|r||c|c|} \hline x & y & (x,y) \\ \hline -2 & \frac{1}{2} & (-2, \frac{1}{2}) \\ \hline -1 & 4 & (-1, 4) \\ \hline -\frac{1}{2} & 32 & (-\frac{1}{2}, 32) \\ \hline \frac{1}{2} & -32 & (\frac{1}{2}, -32)\\ \hline 1 & -4 & (1, -4) \\ \hline 2 & -\frac{1}{2} & (2, -\frac{1}{2}) \\ \hline \end{array} $
O gráfico não é simétrico com relação ao eixo $x$ (e.g. $(1, -4)$ está sobre o gráfico mas $(1, 4)$ não está)
O gráfico não é simétrico com relação ao eixo $y$ (e.g. $(1, -4)$ está sobre o gráfico mas $(-1, -4)$ não está)
O gráfico é simétrico com relação à origem
- O procedimento resumido no exercício acima só funciona porque as equações são “bem-comportadas”. Nem tudo na Matemática é tão simples assim, como as equações seguintes demonstram. Discuta com sua colegas como traçar o gráfico das equações dadas nos exercícios abaixo. Que dificuldades surgem quando se tenta aplicar o procedimento dado neste capítulo?
- $x^{3} + y^{3} - 3xy = 0\;$ Fólio de Descartes
- $x^{4} = x^{2} + y^{2}\;$ Kampyle de Eudoxo
- $y^{2} = x^{3} + 3x^{2}\;$ Cúbica de Tschirnhausen
- $(x^{2} + y^{2})^{2} = x^{3} + y^{3}\;$ Curva do Ovo Curvado