Fundamentos: Relações e Funções

5 Aritmética das Funções

Nos exercícios 1 - 10, use o par de funções $f$ e $g$ para encontrar os seguintes valores, caso existam.

• $(f+g)(2)$
• $(f-g)(-1)$
• $(g-f)(1)$

• $(fg)\left(\frac{1}{2}\right)$
• $\left(\frac{f}{g}\right)(0)$
• $\left(\frac{g}{f}\right)\left(-2\right)$

1. $f(x) = 3x+1$ e $g(x) = 4-x$

   resposta
   Para $f(x) = 3x+1$ e $g(x) = 4-x$

   • $(f+g)(2) = 9$
   • $(f-g)(-1) = -7$
   • $(g-f)(1) = -1$

   • $(fg)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{35}{4}$
   • $\left(\frac{f}{g}\right)(0) = \frac{1}{4}$
   • $\left(\frac{g}{f}\right)\left(-2\right) = -\frac{6}{5}$

2. $f(x) = x^2$ e $g(x) = -2x+1$

   resposta
   Para $f(x) = x^2$ e $g(x) = -2x+1$

   • $(f+g)(2) = 1$
   • $(f-g)(-1) = -2$
   • $(g-f)(1) = -2$

   • $(fg)\left(\frac{1}{2}\right) = 0$
   • $\left(\frac{f}{g}\right)(0) = 0$
   • $\left(\frac{g}{f}\right)\left(-2\right) = \frac{5}{4}$

3. $f(x) = x^2 - x$ e $g(x) = 12-x^2$

   resposta
   Para $f(x) = x^2 - x$ e $g(x) = 12-x^2$

   • $(f+g)(2) = 10$
   • $(f-g)(-1) = -9$
   • $(g-f)(1) = 11$

   • $(fg)\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{47}{16}$
   • $\left(\frac{f}{g}\right)(0) = 0$
   • $\left(\frac{g}{f}\right)\left(-2\right) = \frac{4}{3}$

4. $f(x) = 2x^3$ e $g(x) = -x^2-2x-3$

   resposta
   Para $f(x) = 2x^3$ e $g(x) = -x^2-2x-3$

   • $(f+g)(2) = 5$
   • $(f-g)(-1) = 0$
   • $(g-f)(1) = -8$

   • $(fg)\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{17}{16}$
   • $\left(\frac{f}{g}\right)(0) = 0$
   • $\left(\frac{g}{f}\right)\left(-2\right) = \frac{3}{16}$

5. $f(x) = \sqrt{x+3}$ e $g(x) = 2x-1$

   resposta
   Para $f(x) = \sqrt{x+3}$ e $g(x) = 2x-1$

   • $(f+g)(2) = 3+\sqrt{5}$
   • $(f-g)(-1) = 3+\sqrt{2}$
   • $(g-f)(1) = -1$

   • $(fg)\left(\frac{1}{2}\right) = 0$
   • $\left(\frac{f}{g}\right)(0) = -\sqrt{3}$
   • $\left(\frac{g}{f}\right)\left(-2\right) = -5$

6. $f(x) = \sqrt{4-x}$ e $g(x) = \sqrt{x+2}$

   resposta
   Para $f(x) = \sqrt{4-x}$ e $g(x) = \sqrt{x+2}$

   • $(f+g)(2) = 2+\sqrt{2}$
   • $(f-g)(-1) = -1+\sqrt{5}$
   • $(g-f)(1) = 0$

   • $(fg)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{35}}{2}$
   • $\left(\frac{f}{g}\right)(0) = \sqrt{2}$
   • $\left(\frac{g}{f}\right)\left(-2\right) = 0$

7. $f(x) = 2x$ e $g(x) = \dfrac{1}{2x+1}$

   resposta
   Para $f(x) = 2x$ e $g(x) = \frac{1}{2x+1}$

   • $(f+g)(2) = \frac{21}{5}$
   • $(f-g)(-1) = -1$
   • $(g-f)(1) = -\frac{5}{3}$

   • $(fg)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$
   • $\left(\frac{f}{g}\right)(0) = 0$
   • $\left(\frac{g}{f}\right)\left(-2\right) = \frac{1}{12}$

8. $f(x) = x^2$ e $g(x) = \dfrac{3}{2x-3}$

   resposta
   Para $f(x) = x^2$ e $g(x) = \frac{3}{2x-3}$

   • $(f+g)(2) = 7$
   • $(f-g)(-1) = \frac{8}{5}$
   • $(g-f)(1) = -4$

   • $(fg)\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{8}$
   • $\left(\frac{f}{g}\right)(0) = 0$
   • $\left(\frac{g}{f}\right)\left(-2\right) = -\frac{3}{28}$

9. $f(x) = x^2$ e $g(x) = \dfrac{1}{x^2}$

   resposta
   Para $f(x) = x^2$ e $g(x) = \frac{1}{x^2}$

   • $(f+g)(2) =\frac{17}{4}$
   • $(f-g)(-1) = 0$
   • $(g-f)(1) = 0$

   • $(fg)\left(\frac{1}{2}\right) =1$
   • $\left(\frac{f}{g}\right)(0)$ é indefinida.
   • $\left(\frac{g}{f}\right)\left(-2\right) = \frac{1}{16}$

10. $f(x) = x^2+1$ e $g(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$

    resposta
    Para $f(x) = x^2+1$ e $g(x) = \frac{1}{x^2+1}$

    • $(f+g)(2) =\frac{26}{5}$
    • $(f-g)(-1) = \frac{3}{2}$
    • $(g-f)(1) = -\frac{3}{2}$

    • $(fg)\left(\frac{1}{2}\right) =1$
    • $\left(\frac{f}{g}\right)(0) = 1$
    • $\left(\frac{g}{f}\right)\left(-2\right) = \frac{1}{25}$

Nos exercícios 11 - 20, use o par de $f$ e $g$ para encontrar o domínio da função indicada, em seguida encontre e simplifique a expressão para ela.

• $(f+g)(x)$
• $(f-g)(x)$
• $(fg)(x)$
• $\left(\frac{f}{g}\right)(x)$

11. $f(x) = 2x+1$ e $g(x) = x-2$

    resposta
    Para $f(x) = 2x+1$ e $g(x) = x-2$

    • $(f+g)(x) = 3x-1$
      domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(f-g)(x) = x+3$
      domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(fg)(x) = 2x^2-3x-2$
      domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{2x+1}{x-2}$
      domínio: $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

12. $f(x) = 1-4x$ e $g(x) = 2x-1$

    resposta
    Para $f(x) = 1-4x$ e $g(x) = 2x-1$

    • $(f+g)(x) = -2x$
      domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(f-g)(x) = 2-6x$
      domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(fg)(x) = -8x^2+6x-1$
      domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{1-4x}{2x-1}$
      domínio: $\left(-\infty, \frac{1}{2} \right) \cup \left(\frac{1}{2}, \infty \right)$

13. $f(x) = x^2$ e $g(x) = 3x-1$

    resposta
    Para $f(x) = x^2$ e $g(x) = 3x-1$

    • $(f+g)(x) = x^2+3x-1$
      domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(f-g)(x) = x^2-3x+1$
      domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(fg)(x) = 3x^3-x^2$
      domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x^2}{3x-1}$
      domínio: $\left(-\infty, \frac{1}{3} \right) \cup \left(\frac{1}{3}, \infty \right)$

14. $f(x) = x^2-x$ e $g(x) = 7x$

    resposta
    Para $f(x) = x^2-x$ e $g(x) = 7x$

    • $(f+g)(x) = x^2+6x$
      domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(f-g)(x) = x^2-8x$
      domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(fg)(x) = 7x^3-7x^2$
      domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x-1}{7}$
      domínio: $\left(-\infty, 0 \right) \cup \left(0, \infty \right)$

15. $f(x) = x^2-4$ e $g(x) = 3x+6$

    resposta
    Para $f(x) = x^2-4$ e $g(x) = 3x+6$

    • $(f+g)(x) = x^2+3x+2$
      domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(f-g)(x) = x^2-3x-10$
      domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(fg)(x) = 3x^3+6x^2-12x-24$
      domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x-2}{3}$
      domínio: $\left(-\infty, -2 \right) \cup \left(-2, \infty \right)$

16. $f(x) = -x^2+x+6$ e $g(x) = x^2-9$

    resposta
    Para $f(x) = -x^2+x+6$ e $g(x) = x^2-9$

    • $(f+g)(x) = x-3$
      domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(f-g)(x) = -2x^2+x+15$
      domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(fg)(x) = -x^4+x^3+15x^2-9x-54$
      domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = -\frac{x+2}{x+3}$
      domínio: $\left(-\infty, -3 \right) \cup \left(-3, 3 \right) \cup (3, \infty)$

17. $f(x) = \dfrac{x}{2}$ e $g(x) = \dfrac{2}{x}$

    resposta
    Para $f(x) = \frac{x}{2}$ e $g(x) = \frac{2}{x}$

    • $(f+g)(x) = \frac{x^2+4}{2x}$
      domínio: $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$

    • $(f-g)(x) = \frac{x^2-4}{2x}$
      domínio: $(-\infty,0) \cup (0, \infty)$

    • $(fg)(x) = 1$
      domínio: $(-\infty,0) \cup (0, \infty)$

    • $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x^2}{4}$
      domínio: $(-\infty,0) \cup (0, \infty)$

18. $f(x) =x-1$ e $g(x) = \dfrac{1}{x-1}$

    resposta
    Para $f(x) =x-1$ e $g(x) = \frac{1}{x-1}$

    • $(f+g)(x) = \frac{x^2-2x+2}{x-1}$
      domínio: $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$

    • $(f-g)(x) = \frac{x^2-2x}{x-1}$
      domínio: $(-\infty,1) \cup (1, \infty)$

    • $(fg)(x) = 1$
      domínio: $(-\infty,1) \cup (1, \infty)$

    • $\left(\frac{f}{g}\right)(x) =x^2-2x+1$
      domínio: $(-\infty,1) \cup (1, \infty)$

19. $f(x) = x$ e $g(x) = \sqrt{x+1}$

    resposta
    Para $f(x) =x$ e $g(x) = \sqrt{x+1}$

    • $(f+g)(x) = x+\sqrt{x+1}$
      domínio: $[-1,\infty)$

    • $(f-g)(x) = x-\sqrt{x+1}$
      domínio: $[-1,\infty)$

    • $(fg)(x) = x\sqrt{x+1}$
      domínio: $[-1,\infty)$

    • $\left(\frac{f}{g}\right)(x) =\frac{x}{\sqrt{x+1}}$
      domínio: $(-1,\infty)$

20. $f(x) =\sqrt{x-5}$ e $g(x) = f(x) = \sqrt{x-5}$

    resposta
    Para $f(x) = \sqrt{x-5}$ e $g(x) = f(x) = \sqrt{x-5}$

    • $(f+g)(x) = 2\sqrt{x-5}$
      domínio: $[5,\infty)$

    • $(f-g)(x) =0$
      domínio: $[5,\infty)$

    • $(fg)(x) =x-5$
      domínio: $[5,\infty)$

    • $\left(\frac{f}{g}\right)(x) =1$
      domínio: $(5,\infty)$

Nos exercícios 21 - 45, encontre e simplifique o quociente da diferença $\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$ para a função dada.

21. $f(x) = 2x - 5$

    resposta
    $2$
22. $f(x) = -3x + 5$

    resposta
    $-3$

23. $f(x) = 6$

    resposta
    $0$
24. $f(x) = 3x^2 - x$

    resposta
    $6x+3h-1$

25. $f(x) = -x^2 + 2x - 1$

    resposta
    $-2x-h+2$
26. $f(x) = 4x^2$

    resposta
    $8x+4h$

27. $f(x) = x-x^2$

    resposta
    $-2x-h+1$
28. $f(x) = x^{3} + 1$

    resposta
    $3x^{2} + 3xh + h^{2}$

29. $f(x) = mx + b\;$ onde $m \neq 0$

    resposta
    $m$
30. $f(x) = ax^{2} + bx + c\;$ onde $a \neq 0$

    resposta
    $2ax + ah + b$

31. $f(x) = \dfrac{2}{x}$

    resposta
    $\dfrac{-2}{x(x+h)}$
32. $f(x) = \dfrac{3}{1-x}$

    resposta
    $\dfrac{3}{(1-x-h)(1-x)}$

33. $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$

    resposta
    $\dfrac{-(2x+h)}{x^2(x+h)^2}$
34. $f(x) = \dfrac{2}{x+5}$

    resposta
    $\dfrac{-2}{(x+5)(x+h+5)}$

35. $f(x) = \dfrac{1}{4x-3}$

    resposta
    $\dfrac{-4}{(4x-3)(4x+4h-3)}$
36. $f(x) = \dfrac{3x}{x+1}$

    resposta
    $\dfrac{3}{(x+1)(x+h+1)}$

37. $f(x) = \dfrac{x}{x - 9}$

    resposta
    $\dfrac{-9}{(x - 9)(x + h - 9)}$
38. $f(x) = \dfrac{x^2}{2x+1}$

    resposta
    $\dfrac{2x^2+2xh+2x+h}{(2x+1)(2x+2h+1)}$

39. $f(x) = \sqrt{x-9}$

    resposta
    $\dfrac{1}{\sqrt{x+h-9} + \sqrt{x-9}}$
40. $f(x) = \sqrt{2x+1}$

    resposta
    $\dfrac{2}{\sqrt{2x+2h+1} + \sqrt{2x+1}}$

41. $f(x) = \sqrt{-4x+5}$

    resposta
    $\dfrac{-4}{\sqrt{-4x-4h+5} + \sqrt{-4x+5}}$
42. $f(x) = \sqrt{4-x}$

    resposta
    $\dfrac{-1}{\sqrt{4-x-h} + \sqrt{4-x}}$

43. $f(x) = \sqrt{ax+b}$, onde $a \neq 0$.

    resposta
    $\dfrac{a}{\sqrt{ax+ah+b} + \sqrt{ax+b}}$
44. $f(x) = x \sqrt{x}$

    resposta
    $\dfrac{3x^2+3xh+h^2}{(x+h)^{3/2} + x^{3/2}} $

45. $f(x) = \sqrt[3]{x}$. Dica: $(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right) = a^3 - b^3$

    resposta
    $\dfrac{1}{(x+h)^{2/3} + (x+h)^{1/3} x^{1/3} + x^{2/3}}$

Nos exercícios 46 - 50, $C(x)$ denota o custo para produzir $x$ itens, $\overline{C}(x)=C(x)/x$ é o custo médio, $p(x)$ denota a função preço-demanda por item, $R(x)=x p(x)$ denota o a receita bruta e $P(x)=(R-C)(x)$ denota o lucro. Em cada exercício, faça o seguinte:

• encontre e interprete $C(0)$.
• encontre e interprete $\overline{C}(10)$.

• encontre e interprete $p(5)$
• encontre e simplifique $R(x)$.

• encontre e simplifique $P(x)$.
• resolva $P(x) = 0$ e interprete.

46. O custo em dólares para produzir $x$ camisetas “Prefiro ser um Mapinguari” é $C(x) = 2x+26$, $x \geq 0$ e a função preço-demanda é $p(x) = 30 - 2x$, $0 \leq x \leq 15$.

    resposta

    • $C(0) = 26$, portanto os custos fixos são $\$26$.

    • $\overline{C}(10) = 4.6$, assim quando 10 camisetas são produzidas, o custo por camiseta é $\$4.60$.

    • $p(5) = 20$, portanto para vender $5$ camisetas, coloque o preço a $\$20$ por camiseta.

    • $R(x) = -2x^2+30x$, $0 \leq x \leq 15$

    • $P(x) = -2x^2+28x-26$, $0 \leq x \leq 15$

    • $P(x) = 0$ quando $x = 1$ e $x=13$. Esses são os pontos do `zero-a-zero', portanto vender uma camiseta ou $13$ camisetas garante que a receita cobre exatamente o custo de produção.

47. O custo em dólares para produzir $x$ garrafas de Guaraná Mapinguari é $C(x) = 10x+100$, $x \geq 0$ e a função preço-demanda é $p(x) = 35 - x$, $0 \leq x \leq 35$.

    resposta

    • $C(0) = 100$, portanto os custos fixos são $\$100$.

    • $\overline{C}(10) = 20$, assim quando 10 garrafas de guaraná são produzidas, o custo por garrafa é $\$20$.

    • $p(5) = 30$, portanto para vender $5$ garrafas, coloque o preço a $\$30$ por garrafa.

    • $R(x) = -x^2+35x$, $0 \leq x \leq 35$

    • $P(x) = -x^2+25x-100$, $0 \leq x \leq 35$

    • $P(x) = 0$ quando $x = 5$ e $x=20$. Esses são os pontos do `zero-a-zero', portanto vender $5$ ou $20$ garrafas de guaraná garante que a receita cobre exatamente o custo de produção.

48. O custo em centavos de dólar para produzir $x$ copos de Limonada Mapinguari é $C(x) = 18x + 240$, $x \geq 0$ e a função preço-demanda é $p(x) = 90-3x$, $0 \leq x \leq 30$.

    resposta

    • $C(0) = 240$, portanto os custos fixos são $240$¢ \, ou $\$2.40$.

    • $\overline{C}(10) = 42$, assim quando 10 copos de limonada são feitos, o custo por copo é $42$¢.

    • $p(5) = 75$, portanto para vender $5$ copos de limonada, coloque o preço a $75$¢ \, por copo.

    • $R(x) = -3x^2+90x$, $0 \leq x \leq 30$

    • $P(x) = -3x^2+72x-240$, $0 \leq x \leq 30$

    • $P(x) = 0$ quando $x = 4$ e $x=20$. Esses são os pontos do `zero-a-zero', portanto vender $4$ ou $20$ copos de limonada garante que a receita cobre exatamente o custo de produção.

49. O custo diário em dólares para produzir $x$ Tortas de Banana Mapinguari é $C(x) = 3x + 36$, $x \geq 0$ e a função preço-demanda é $p(x) = 12-0.5x$, $0 \leq x \leq 24$.

    resposta

    • $C(0) = 36$, portanto os custos fixos diários são $\$36$.

    • $\overline{C}(10) = 6.6$, assim quando 10 tortas são feitas, o custo por torta é $\$6.60$.

    • $p(5) = 9.5$, portanto para vender $5$ tortas por dia, coloque o preço a $\$9.50$ por torta.

    • $R(x) = -0.5 x^2 + 12x$, $0 \leq x \leq 24$

    • $P(x) = -0.5 x^2+9x-36$, $0 \leq x \leq 24$

    • $P(x) = 0$ quando $x = 6$ e $x=12$. Esses são os pontos do `zero-a-zero', portanto vender $6$ ou $12$ tortas por dia garante que a receita cobre exatamente o custo de produção.

50. O custo mensal em centenas de dólares para produzir $x$ motocicletas elétricas é $C(x) = 20x + 1000$, $x \geq 0$ e a função preço-demanda é $p(x) = 140-2x$, $0 \leq x \leq 70$.

    resposta

    • $C(0) = 1000$, portanto os custos fixos mensais são $1000$ centenas de dólares, ou $\$100,\!000$.

    • $\overline{C}(10) = 120$, assim quando 10 motocicletas são feitas, o custo por motocicleta é $120$ centenas de dólares, ou $\$12,\!000$.

    • $p(5) = 130$, portanto para vender $5$ motocicletas por mês, coloque o preço a $130$ centenas de dólares, ou $\$13,\!000$ por motocicleta.

    • $R(x) = -2x^2+140x$, $0 \leq x \leq 70$

    • $P(x) = -2x^2+120x-1000$, $0 \leq x \leq 70$

    • $P(x) = 0$ quando $x = 10$ e $x=50$. Esses são os pontos do `zero-a-zero', portanto vender $10$ ou $50$ motocicletas por mês garante que a receita cobre exatamente o custo de produção.

Nos exercícios 51 - 62, sejam $f$ a função definida por \[f = \{(-3, 4), (-2, 2), (-1, 0), (0, 1), (1, 3), (2, 4), (3, -1)\}\] e $g$ a função definida por \[g = \{(-3, -2), (-2, 0), (-1, -4), (0, 0), (1, -3), (2, 1), (3, 2)\}.\] Calcule o valor indicado, caso exista.

51. $(f + g)(-3)$

    resposta
    $(f + g)(-3) = 2$
52. $(f - g)(2)$

    resposta
    $(f - g)(2) = 3$
53. $(fg)(-1)$

    resposta
    $(fg)(-1) = 0$

54. $(g + f)(1)$

    resposta
    $(g + f)(1) = 0$
55. $(g - f)(3)$

    resposta
    $(g - f)(3) = 3$
56. $(gf)(-3)$

    resposta
    $(gf)(-3) = -8$

57. $\left(\frac{f}{g}\right)(-2)$

    resposta
    $\left(\frac{f}{g}\right)(-2)$ não existe
58. $\left(\frac{f}{g}\right)(-1)$

    resposta
    $\left(\frac{f}{g}\right)(-1) = 0$
59. $\left(\frac{f}{g}\right)(2)$

    resposta
    $\left(\frac{f}{g}\right)(2) = 4$

60. $\left(\frac{g}{f}\right)(-1)$

    resposta
    $\left(\frac{g}{f}\right)(-1)$ não existe
61. $\left(\frac{g}{f}\right)(3)$

    resposta
    $\left(\frac{g}{f}\right)(3) = -2$
62. $\left(\frac{g}{f}\right)(-3)$

    resposta
    $\left(\frac{g}{f}\right)(-3) = -\frac{1}{2}$