Fundamentos: Relações e Funções

7 Transformações de Funções

Suponha que $(2,-3)$ está sobre o gráfico de $y = f(x)$. Nos exercícios 1 - 18, encontre o correspondente do ponto no gráfico da função transformada.

1. $y = f(x)+3$

   resposta
   $(2,0)$
2. $y = f(x+3)$

   resposta
   $(-1,-3)$
3. $y = f(x)-1$

   resposta
   $(2,-4)$

4. $y = f(x-1)$

   resposta
   $(3,-3)$
5. $y = 3f(x)$

   resposta
   $(2,-9)$
6. $y = f(3x)$

   resposta
   $\left(\frac{2}{3}, -3\right)$

7. $y = -f(x)$

   resposta
   $(2,3)$
8. $y = f(-x)$

   resposta
   $(-2,-3)$
9. $y = f(x-3)+1$

   resposta
   $(5,-2)$

10. $y = 2f(x+1)$

    resposta
    $(1,-6)$
11. $y = 10 - f(x)$

    resposta
    $(2,13)$
12. $y = 3f(2x) - 1$

    resposta
    $y = (1,-10)$

13. $y = \frac{1}{2} f(4-x)$

    resposta
    $\left(2, -\frac{3}{2}\right)$
14. $y = 5f(2x+1) + 3$

    resposta
    $\left(\frac{1}{2}, -12 \right)$
15. $y = 2f(1-x) -1$

    resposta
    $(-1,-7)$

16. $y =f\left(\dfrac{7-2x}{4}\right)$

    resposta
    $\left(-\frac{1}{2}, -3\right)$
17. $y = \dfrac{f(3x) - 1}{2}$

    resposta
    $\left(\frac{2}{3}, -2 \right)$
18. $y = \dfrac{4-f(3x-1)}{7}$

    resposta
    $(1,1)$

O gráfico de $y = f(x)$ é dado abaixo. Nos exercícios 19 - 27, esboce o gráfico da função transformada.

19. $y = f(x) + 1$

    resposta
    $y = f(x) + 1$

    

20. $y = f(x) - 2$

    resposta
    $y = f(x) - 2$

    

21. $y = f(x+1)$

    resposta
    $y = f(x+1)$

    

22. $y = f(x - 2)$

    resposta
    $y = f(x - 2)$

    

23. $y = 2f(x)$

    resposta
    $y = 2f(x)$

    

24. $y = f(2x)$

    resposta
    $y = f(2x)$

    

25. $y = 2 - f(x)$

    resposta
    $y = 2 - f(x)$

    

26. $y = f(2-x)$

    resposta
    $y = f(2-x)$

    

27. $y = 2-f(2-x)$

    resposta
    $y = 2-f(2-x)$

    

28. Algumas das respostas aos exercícios 19 - 27 acima devem ter sido as mesmas. Quais foram iguais? Que propriedades do gráfico de $y=f(x)$ contribuíram para a duplicação?

O gráfico de $y = f(x)$ é dado abaixo. Nos exercícios 29 - 37, esboce o gráfico da função transformada.

29. $y = f(x) - 1$

    resposta
    $y = f(x) - 1$

    

30. $y = f(x + 1)$

    resposta
    $y = f(x + 1)$

    

31. $y = \frac{1}{2} f(x)$

    resposta
    $y = \frac{1}{2} f(x)$

    

32. $y = f(2x)$

    resposta
    $y = f(2x)$

    

33. $y = - f(x)$

    resposta
    $y = - f(x)$

    

34. $y = f(-x)$

    resposta
    $y = f(-x)$

    

35. $y = f(x+1) - 1$

    resposta
    $y = f(x+1) - 1$

    

36. $y = 1 - f(x)$

    resposta
    $y = 1 - f(x)$

    

37. $y = \frac{1}{2}f(x+1)-1$

    resposta
    $y = \frac{1}{2}f(x+1)-1$

    

O gráfico de $y = f(x)$ é dado abaixo. Nos exercícios 38 - 49, esboce o gráfico da função transformada.

38. $g(x) = f(x) + 3$

    resposta
    $g(x) = f(x) + 3$
    

    

39. $h(x) = f(x) - \frac{1}{2}$

    resposta
    $h(x) = f(x) - \frac{1}{2}$
    

    

40. $j(x) = f\left(x - \frac{2}{3}\right)$

    resposta
    $j(x) = f\left(x - \frac{2}{3}\right)$
    

    

41. $a(x) = f(x + 4)$

    resposta
    $a(x) = f(x + 4)$
    

    

42. $b(x) = f(x + 1) - 1$

    resposta
    $b(x) = f(x + 1) - 1$
    

    

43. $c(x) = \frac{3}{5}f(x)$

    resposta
    $c(x) = \frac{3}{5}f(x)$
    

    

44. $d(x) = -2f(x)$

    resposta
    $d(x) = -2f(x)$
    

    

45. $k(x) = f\left(\frac{2}{3}x\right)$

    resposta
    $k(x) = f\left(\frac{2}{3}x\right)$
    

    

46. $m(x) = -\frac{1}{4}f(3x)$

    resposta
    $m(x) = -\frac{1}{4}f(3x)$
    

    

47. $n(x) = 4f(x - 3) - 6$

    resposta
    $n(x) = 4f(x - 3) - 6$
    

    

48. $p(x) = 4 + f(1 - 2x)$

    resposta
    $p(x) = 4 + f(1 - 2x) = f(-2x + 1) + 4$
    

    

49. $q(x) = -\frac{1}{2}f\left(\frac{x + 4}{2}\right) - 3$

    resposta
    $q(x) = -\frac{1}{2}f\left(\frac{x + 4}{2}\right) - 3 = -\frac{1}{2}f\left( \frac{1}{2}x + 2 \right) - 3 $
    

    

O gráfico de $y = S(x)$ é dado abaixo.

O propósito dos exercícios 50 - 53 é esboçar o gráfico de $y = \frac{1}{2}S(-x+1) + 1$, esboçando cada etapa da transformação.

50. $y = S_{\text{ $1$}}(x) = S(x + 1)$

    resposta
    $y = S_{\text{ $1$}}(x) = S(x + 1)$

    

51. $y = S_{\text{ $2$}}(x) = S_{\text{ $1$}}(-x) = S(-x + 1)$

    resposta
    $y = S_{\text{ $2$}}(x) = S_{\text{ $1$}}(-x) = S(-x + 1)$

    

52. $y = S_{\text{ $3$}}(x) = \frac{1}{2} S_{\text{ $2$}}(x) = \frac{1}{2}S(-x+1)$

    resposta
    $y = S_{\text{ $3$}}(x) = \frac{1}{2} S_{\text{ $2$}}(x) = \frac{1}{2}S(-x+1)$

    

53. $y = S_{\text{ $4$}}(x) = S_{\text{ $3$}}(x) + 1 = \frac{1}{2}S(-x+1) + 1$

    resposta
    $y = S_{\text{ $4$}}(x) = S_{\text{ $3$}}(x) + 1 = \frac{1}{2}S(-x+1) + 1$

    

Seja $f(x) = \sqrt{x}$. Encontre a fórmula para a função $g$ cujo gráfico é obtido de $f$ através da sequência de transformações dadas.

54. (1) deslocamento para direita 2 unidades; (2) deslocamento para baixo 3 unidades

    resposta
    $g(x) = \sqrt{x-2} - 3$
55. (1) deslocamento para baixo 3 unidades; (2) deslocamento para a direita 2 unidades

    resposta
    $g(x) = \sqrt{x-2} - 3$

56. (1) reflexão em torno do eixo $x$; (2) deslocamento para cima 1 unidade

    resposta
    $g(x) = -\sqrt{x} + 1$
57. (1) deslocamento para cima 1 unidade; (2) reflexão em torno do eixo $x$

    resposta
    $g(x) = -(\sqrt{x} + 1) = -\sqrt{x} - 1$

58. (1) deslocamento para esquerda 1 unidade; (2) reflexão em torno do eixo $y$; (3) deslocamento para a cima 2 unidades

    resposta
    $g(x) = \sqrt{-x+1} + 2$
59. (1) reflexão em torno do eixo $y$; (2) deslocamento para esquerda 1 unidade; (3) deslocamento para cima 2 unidades

    resposta
    $g(x) = \sqrt{-(x+1)} + 2 = \sqrt{-x-1} + 2$

60. (1) deslocamento para esquerda 3 unidades; (2) esticamento vertical por um fator de 2; (3) deslocamento para baixo 4 unidades

    resposta
    $g(x) = 2\sqrt{x+3} - 4$
61. (1) deslocamento para esquerda 3 unidades; (2) deslocamento para baixo 4 unidades; (3) esticamento vertical por um fator de 2

    resposta
    $g(x) = 2\left(\sqrt{x+3} - 4\right) = 2\sqrt{x+3} - 8$

62. (1) deslocamento para direita 3 unidades; (2) encolhimento horizontal por um fator de 2; (3) deslocamento para a cima 1 unidade

    resposta
    $g(x) = \sqrt{2x-3} + 1$
63. (1) encolhimento horizontal por um fator de 2; (2) deslocamento para direita 3 unidades; (3) deslocamento para cima 1 unidade

    resposta
    $g(x) = \sqrt{2(x-3)} + 1 = \sqrt{2x-6}+1$

64. O gráfico de $y = f(x) = \sqrt[3]{x}$ é dado abaixo à esquerda e o gráfico de $y = g(x)$ é dado à direita. Encontre a fórmula para $g$ baseado nas transformações do gráfico de $f$. Verifique sua resposta testando se os pontos mostrados no gráfico de $g$ satisfazem a equação $y = g(x)$.

    

    

    resposta
    $g(x) = -2\sqrt[3]{x + 3} - 1$ ou $g(x) = 2\sqrt[3]{-x - 3} - 1$

65. Para muitas funções, as propriedades da Álgebra tornam a mudança de escala horizontal igual a uma mudança de escala vertical por um fator (possivelmente) diferente. Por exemplo, $\sqrt{9x} = 3\sqrt{x}$. Com a ajuda de seus colegas, encontre a mudança de escala vertical equivalente produzida pelas mudanças de escala horizontais $y = (2x)^{3}, \, y = |5x|, \, y = \sqrt[3]{27x} \, $ e $\, y = \left(\frac{1}{2} x\right)^{2}$. O que se pode dizer de $y = (-2x)^{3}, \, y = |-5x|, \, y = \sqrt[3]{-27x}\, $ e $\, y = \left(-\frac{1}{2} x\right)^{2}$?

66. Em geral, a ordem das transformações importa, mas há situações onde a ordem não importa (por exemplo, um deslocamento para a esquerda seguida de um deslocamento para baixo ou um deslocamento para baixo seguido de um para a esquerda produzem o mesmo resultado). Com a ajuda de seus colegas, determine situações em que a ordem importa e situações onde a ordem não importa.

67. O que acontece quando se reflete uma função par em torno do eixo $y$?
68. O que acontece quando se reflete uma função ímpar em torno do eixo $y$?
69. O que acontece quando se reflete uma função par em torno do eixo $x$?
70. O que acontece quando se reflete uma função ímpar em torno do eixo $x$?
71. Como se pode descrever a simetria com relação à origem em termos de reflexões?