Trigonometria

28 Identidades Trigonométricas

Nos Exercícios 1 - 6, utilize o fato da função ser par ou ímpar para verificar a identidade. Suponha que todas as quantidades estejam definidas.

1. $\sin(3\pi - 2\theta) = -\sin(2\theta - 3\pi)$
2. $\cos \left( -\dfrac{\pi}{4} - 5t \right) = \cos \left( 5t + \dfrac{\pi}{4} \right)$

3. $\tan(-t^{2} + 1) = -\tan(t^{2} - 1)$
4. $\csc(-\theta - 5) = -\csc(\theta + 5)$

5. $\sec(-6t) = \sec(6t)$
6. $\cot(9 - 7\theta) = -\cot(7\theta - 9)$

Nos Exercícios 7 - 21, use as Identidades de Soma e Diferença para encontrar o valor exato. Você talvez precisse de outras identidades também.

7. $\cos(75^{\circ})$

   resposta
   $\cos(75^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $
8. $\sec(165^{\circ})$

   resposta
   $\sec(165^{\circ}) = -\dfrac{4}{\sqrt{2}+\sqrt{6}} = \sqrt{2} - \sqrt{6}$

9. $\sin(105^{\circ})$

   resposta
   $\sin(105^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

10. $\csc(195^{\circ})$

    resposta
    $\csc(195^{\circ}) = \dfrac{4}{\sqrt{2}-\sqrt{6}} = -(\sqrt{2}+\sqrt{6})$

11. $\cot(255^{\circ})$

    resposta
    $\cot(255^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = 2-\sqrt{3}$
12. $\tan(375^{\circ})$

    resposta
    $\tan(375^{\circ}) = \dfrac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$

13. $\cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right)$

    resposta
    $\cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = -\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
14. $\sin\left(\dfrac{11\pi}{12}\right)$

    resposta
    $\sin\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

15. $\tan\left(\dfrac{13\pi}{12}\right)$

    resposta
    $\tan\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = \dfrac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$

16. $\cos \left( \dfrac{7\pi}{12} \right)$

    resposta
    $\cos \left( \dfrac{7\pi}{12} \right) = \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

17. $\tan \left( \dfrac{17\pi}{12} \right)$

    resposta
    $\tan \left( \dfrac{17\pi}{12} \right) = 2 + \sqrt{3}$
18. $\sin \left( \dfrac{\pi}{12} \right)$

    resposta
    $\sin \left( \dfrac{\pi}{12} \right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

19. $\cot \left( \dfrac{11\pi}{12} \right)$

    resposta
    $\cot \left( \dfrac{11\pi}{12} \right) = -(2 + \sqrt{3})$
20. $\csc \left( \dfrac{5\pi}{12} \right)$

    resposta
    $\csc \left( \dfrac{5\pi}{12} \right) = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

21. $\sec \left( -\dfrac{\pi}{12} \right)$

    resposta
    $\sec \left( -\dfrac{\pi}{12} \right) = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

22. Se $\alpha$ é um ângulo do Quadrante IV com $\cos(\alpha) = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$, e $\sin(\beta) = \dfrac{\sqrt{ 10}}{10}$, onde $\dfrac{\pi}{2} < \beta < \pi$, encontre

    1. $\cos(\alpha + \beta)$
    2. $\sin(\alpha + \beta)$
    3. $\tan(\alpha + \beta)$

    1. $\cos(\alpha - \beta)$
    2. $\sin(\alpha - \beta)$
    3. $\tan(\alpha - \beta)$

    resposta

    1. $\cos(\alpha + \beta) = -\dfrac{\sqrt{2}}{10}$
    2. $\sin(\alpha + \beta) = \dfrac{7\sqrt{2}}{10}$

    1. $\tan(\alpha + \beta) = -7$
    2. $\cos(\alpha - \beta)= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

    1. $\sin(\alpha - \beta) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    2. $\tan(\alpha - \beta) = -1$

23. Se $\csc(\alpha) = 3$, onde $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$, e $\beta$ é um ângulo do Quadrante II com $\tan(\beta) = -7$, encontre

    1. $\cos(\alpha + \beta)$
    2. $\sin(\alpha + \beta)$
    3. $\tan(\alpha + \beta)$

    1. $\cos(\alpha - \beta)$
    2. $\sin(\alpha - \beta)$
    3. $\tan(\alpha - \beta)$

    resposta

    1. $\cos(\alpha + \beta) = - \dfrac{4+7\sqrt{2}}{30}$
    2. $\sin(\alpha + \beta) = \dfrac{28-\sqrt{2}}{30}$

    1. $\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{-28+\sqrt{2}}{4+7\sqrt{2}} = \dfrac{63-100\sqrt{2}}{41}$
    2. $\cos(\alpha - \beta) = \dfrac{-4+7\sqrt{2}}{30}$

    1. $\sin(\alpha - \beta) = - \dfrac{28+\sqrt{2}}{30}$
    2. $\tan(\alpha - \beta)= \dfrac{28+\sqrt{2}}{4-7\sqrt{2}} = -\dfrac{63+100\sqrt{2}}{41}$

24. Se $\sin(\alpha) = \dfrac{3}{5}$, onde $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$, e $\cos(\beta) = \dfrac{ 12}{13}$ onde $\dfrac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$, encontre

    1. $\sin(\alpha + \beta)$
    2. $\cos(\alpha - \beta)$
    3. $\tan(\alpha - \beta)$

    resposta

    1. $\sin(\alpha + \beta) = \dfrac{16}{65}$
    2. $\cos(\alpha - \beta) = \dfrac{33}{65}$
    3. $\tan(\alpha - \beta) = \dfrac{56}{33}$

25. Se $\sec(\alpha) = -\dfrac{5}{3}$, onde $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, e $\tan(\beta) = \dfrac{24}{7}$, onde $\pi < \beta < \dfrac{3\pi}{2}$, encontre

    1. $\csc(\alpha - \beta)$
    2. $\sec(\alpha + \beta)$
    3. $\cot(\alpha + \beta)$

    resposta

    1. $\csc(\alpha - \beta) = -\dfrac{5}{4}$
    2. $\sec(\alpha + \beta) = \dfrac{125}{117}$
    3. $\cot(\alpha + \beta) = \dfrac{117}{44}$

Nos Exercícios 26 - 38, verifique a identidade.

26. $\cos(\theta - \pi) = -\cos(\theta)$
27. $\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)$

28. $\tan\left(\theta + \dfrac{\pi}{2} \right) = -\cot(\theta)$
29. $\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin(\alpha)\cos(\beta)$

30. $\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2\cos(\alpha) \sin(\beta)$
31. $\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos(\alpha) \cos(\beta)$

32. $\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) = -2\sin(\alpha) \sin(\beta)$
33. $\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)} = \dfrac{1+\cot(\alpha) \tan(\beta)}{1 - \cot(\alpha) \tan(\beta)}$

34. $\dfrac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \dfrac{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha)\tan(\beta)}$
35. $\dfrac{\tan(\alpha + \beta)}{\tan(\alpha - \beta)} = \dfrac{\sin(\alpha)\cos(\alpha) + \sin(\beta)\cos(\beta)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha) - \sin(\beta)\cos(\beta)}$

36. $\dfrac{\sin(t + h) - \sin(t)}{h} = \cos(t) \left(\dfrac{\sin(h)}{h} \right) + \sin(t) \left( \dfrac{\cos(h) - 1}{h} \right)$
37. $\dfrac{\cos(t + h) - \cos(t)}{h} = \cos(t) \left( \dfrac{\cos(h) - 1}{h} \right) - \sin(t) \left(\dfrac{\sin(h)}{h} \right)$
38. $\dfrac{\tan(t + h) - \tan(t)}{h} = \left( \dfrac{\tan(h)}{h} \right) \left(\dfrac{\sec^{2}(t)}{1 - \tan(t)\tan(h)} \right)$

Nos Exercícios 39 - 48, utilize as Fórmulas de Arco Metade para encontrar o valor exato. Você talvez precise de outras identidades também.

39. $\cos(75^{\circ})$ (compare com o Exercício 7)

    resposta
    $\cos(75^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$
40. $\sin(105^{\circ})$ (compare com o Exercício 9)

    resposta
    $\sin(105^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$

41. $\cos(67.5^{\circ})$

    resposta
    $\cos(67.5^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$
42. $\sin(157.5^{\circ})$

    resposta
    $\sin(157.5^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

43. $\tan(112.5^{\circ})$

    resposta
    $\tan(112.5^{\circ}) = - \sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}} = -1 - \sqrt{2}$
44. $\cos\left( \dfrac{7\pi}{12} \right)$ (compare com o Exercício 16)

    resposta
    $\cos\left( \dfrac{7\pi}{12} \right) = -\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$

45. $\sin\left( \dfrac{\pi}{12} \right)$ (compare com o Exercício 18)

    resposta
    $\sin\left( \dfrac{\pi}{12} \right) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$
46. $\cos \left( \dfrac{\pi}{8} \right)$

    resposta
    $\cos \left( \dfrac{\pi}{8} \right) = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

47. $\sin \left( \dfrac{5\pi}{8} \right)$

    resposta
    $\sin \left( \dfrac{5\pi}{8} \right) = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$
48. $\tan \left( \dfrac{7\pi}{8} \right)$

    resposta
    $\tan \left( \dfrac{7\pi}{8} \right) = -\sqrt{ \dfrac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} } =1-\sqrt{2}$

Nos Exercícios 49 - 58, use as informações fornecidas sobre $\theta$ para encontrar os valores exatos de

• $\sin(2\theta)$
• $\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$
• $\cos(2\theta)$
• $\cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$
• $\tan(2\theta)$
• $\tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$

49. $\sin(\theta) = -\dfrac{7}{25}$ onde $\dfrac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

    resposta

    • $\sin(2\theta) = -\dfrac{336}{625}$
    • $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{10}$
    • $\cos(2\theta) = \dfrac{527}{625}$
    • $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = -\dfrac{7\sqrt{2}}{10}$
    • $\tan(2\theta) = -\dfrac{336}{527}$
    • $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = -\dfrac{1}{7}$

50. $\cos(\theta) = \dfrac{28}{53}$ onde $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$

    resposta

    • $\sin(2\theta) = \dfrac{2520}{2809}$
    • $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \dfrac{5\sqrt{106}}{106}$
    • $\cos(2\theta) = -\dfrac{1241}{2809}$
    • $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \dfrac{9\sqrt{106}}{106}$
    • $\tan(2\theta) = -\dfrac{2520}{1241}$
    • $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \dfrac{5}{9}$

51. $\tan(\theta) = \dfrac{12}{5}$ onde $\pi < \theta < \dfrac{3\pi}{2}$

    resposta

    • $\sin(2\theta) = \dfrac{120}{169}$
    • $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \dfrac{3\sqrt{13}}{13}$
    • $\cos(2\theta) = -\dfrac{119}{169}$
    • $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = -\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$
    • $\tan(2\theta) = -\dfrac{120}{119}$
    • $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = -\dfrac{3}{2}$

52. $\csc(\theta) = 4$ onde $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$

    resposta

    • $\sin(2\theta) = -\dfrac{\sqrt{15}}{8}$
    • $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) =\dfrac{\sqrt{8+2\sqrt{15}}}{4} \\ \phantom{\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = 4+\sqrt{15}}$
    • $\cos(2\theta) = \dfrac{7}{8}$
    • $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{4} \\ \phantom{\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = 4+\sqrt{15}} $
    • $\tan(2\theta) = -\dfrac{\sqrt{15}}{7}$
    • $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\dfrac{8+2\sqrt{15}}{8-2\sqrt{15}}} \\ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = 4+\sqrt{15}$

53. $\cos(\theta) = \dfrac{3}{5}$ onde $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$

    resposta

    • $\sin(2\theta) = \dfrac{24}{25}$
    • $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$
    • $\cos(2\theta) = -\dfrac{7}{25}$
    • $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
    • $\tan(2\theta)=-\dfrac{24}{7} $
    • $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \dfrac{1}{2}$

54. $\sin(\theta) = -\dfrac{4}{5}$ onde $\pi < \theta < \dfrac{3\pi}{2}$

    resposta

    • $\sin(2\theta) = \dfrac{24}{25}$
    • $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
    • $\cos(2\theta) = -\dfrac{7}{25}$
    • $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
    • $\tan(2\theta)=-\dfrac{24}{7} $
    • $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = -2$

55. $\cos(\theta) = \dfrac{12}{13}$ onde $\dfrac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

    resposta

    • $\sin(2\theta) = -\dfrac{120}{169}$
    • $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{26}}{26}$
    • $\cos(2\theta) = \dfrac{119}{169}$
    • $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = -\dfrac{5\sqrt{26}}{26}$
    • $\tan(2\theta)=-\dfrac{120}{119}$
    • $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = -\dfrac{1}{5}$

56. $\sin(\theta) = \dfrac{5}{13}$ onde $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$

    resposta

    • $\sin(2\theta) = -\dfrac{120}{169}$
    • $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \dfrac{5\sqrt{26}}{26}$
    • $\cos(2\theta) = \dfrac{119}{169}$
    • $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{26}}{26}$
    • $\tan(2\theta)=-\dfrac{120}{119}$
    • $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = 5$

57. $\sec(\theta) = \sqrt{5}$ onde $\dfrac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

    resposta

    • $\sin(2\theta) = -\dfrac{4}{5}$
    • $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{10} \\ \phantom{\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) =\dfrac{5-5\sqrt{5}}{10}}$

    • $\cos(2\theta) = -\dfrac{3}{5}$
    • $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)= -\dfrac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{10} \\ \phantom{\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) =\dfrac{5-5\sqrt{5}}{10}}$
    • $\tan(2\theta)=\dfrac{4}{3}$
    • $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = -\sqrt{\dfrac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}} \\ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) =\dfrac{5-5\sqrt{5}}{10}$

58. $\tan(\theta) = -2$ onde $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$

    resposta

    • $\sin(2\theta) = -\dfrac{4}{5}$
    • $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{10} \\ \phantom{\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) =\dfrac{5-5\sqrt{5}}{10}}$

    • $\cos(2\theta) = -\dfrac{3}{5}$
    • $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)= \dfrac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{10} \\ \phantom{\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) =\dfrac{5-5\sqrt{5}}{10}}$
    • $\tan(2\theta)=\dfrac{4}{3}$
    • $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}} \\ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) =\dfrac{5+5\sqrt{5}}{10}$

Nos Exercícios 59 - 73, verifique a identidade. Suponha que todas as quantidades estejam definidas.

59. $(\cos(\theta) + \sin(\theta))^2 = 1 + \sin(2\theta)$
60. $(\cos(\theta) - \sin(\theta))^2 = 1 - \sin(2\theta)$

61. $\tan(2\theta) = \dfrac{1}{1-\tan(\theta)} - \dfrac{1}{1+\tan(\theta)}$
62. $\csc(2\theta) = \dfrac{\cot(\theta) + \tan(\theta)}{2}$

63. $8 \sin^{4}(\theta) = \cos(4\theta) - 4\cos(2\theta)+3$
64. $8 \cos^{4}(\theta) = \cos(4\theta) + 4\cos(2\theta)+3$

65. $\sin(3\theta) = 3\sin(\theta) - 4\sin^{3}(\theta)$
66. $\sin(4\theta) = 4\sin(\theta)\cos^{3}(\theta) - 4\sin^{3}(\theta)\cos(\theta)$

67. $32\sin^{2}(\theta) \cos^{4}(\theta) = 2 + \cos(2\theta) - 2\cos(4\theta) - \cos(6\theta)$
68. $32\sin^{4}(\theta) \cos^{2}(\theta) = 2 - \cos(2\theta) - 2\cos(4\theta) + \cos(6\theta)$
69. $\cos(4\theta) = 8\cos^{4}(\theta) - 8\cos^{2}(\theta) + 1$
70. $\cos(8\theta) = 128\cos^{8}(\theta)-256\cos^{6}(\theta)+160\cos^{4}(\theta)-32\cos^{2}(\theta)+1$ (Dica: Use o resultado do Exercício 69.)
71. $\sec(2\theta) = \dfrac{\cos(\theta)}{\cos(\theta) + \sin(\theta)} + \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)-\sin(\theta)}$
72. $\dfrac{1}{\cos(\theta) - \sin(\theta)} + \dfrac{1}{\cos(\theta) + \sin(\theta)} = \dfrac{2\cos(\theta)}{\cos(2\theta)}$
73. $\dfrac{1}{\cos(\theta) - \sin(\theta)} - \dfrac{1}{\cos(\theta) + \sin(\theta)} = \dfrac{2\sin(\theta)}{\cos(2\theta)}$

Nos Exercícios 74 - 79, escreva o produto dado como uma soma. Talvez seja necessário usar outras identidades.

74. $\cos(3\theta)\cos(5\theta)$

    resposta
    $\dfrac{\cos(2\theta) + \cos(8\theta)}{2}$
75. $\sin(2\theta)\sin(7\theta)$

    resposta
    $\dfrac{\cos(5\theta) - \cos(9\theta)}{2}$
76. $\sin(9\theta)\cos(\theta)$

    resposta
    $\dfrac{\sin(8\theta) + \sin(10\theta)}{2}$

77. $\cos(2\theta) \cos(6\theta)$

    resposta
    $\dfrac{\cos(4\theta) + \cos(8\theta)}{2}$
78. $\sin(3\theta) \sin(2\theta)$

    resposta
    $\dfrac{\cos(\theta) - \cos(5\theta)}{2}$
79. $\cos(\theta) \sin(3\theta)$

    resposta
    $\dfrac{\sin(2\theta) + \sin(4\theta)}{2}$

Nos Exercícios 80 - 85, escreva a soma dada como um produto.

80. $\cos(3\theta) + \cos(5\theta)$

    resposta
    $2\cos(4\theta)\cos(\theta)$
81. $\sin(2\theta) - \sin(7\theta)$

    resposta
    $-2\cos \left( \dfrac{9}{2}\theta \right) \sin \left( \dfrac{5}{2}\theta \right)$
82. $\cos(5\theta) - \cos(6\theta)$

    resposta
    $2\sin \left( \dfrac{11}{2}\theta \right) \sin \left( \dfrac{1}{2}\theta \right)$

83. $\sin(9\theta) - \sin(-\theta)$

    resposta
    $2\cos(4\theta)\sin(5\theta)$
84. $\sin(\theta) + \cos(\theta)$

    resposta
    $\sqrt{2}\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4} \right)$
85. $\cos(\theta) - \sin(\theta)$

    resposta
    $-\sqrt{2}\sin \left(\theta - \dfrac{\pi}{4} \right)$

86. Suponha que $\theta$ seja um ângulo do Quadrante I com $\sin(\theta) = x$. Verifique as seguintes fórmulas

    1. $\cos(\theta) = \sqrt{1-x^2}$

    2. $\sin(2\theta) = 2x\sqrt{1-x^2}$

    3. $\cos(2\theta) = 1 - 2x^2$

87. Discuta com seus colegas como cada uma das fórmulas no Exercício 86 muda se assumirmos que $\theta$ é um ângulo do Quadrante II, III ou IV.

88. Suponha que $\theta$ seja um ângulo do Quadrante I com $\tan(\theta) = x$. Verifique as seguintes fórmulas

    1. $\cos(\theta) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
    2. $\sin(\theta) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

    1. $\sin(2\theta) = \dfrac{2x}{x^2+1}$
    2. $\cos(2\theta) = \dfrac{1-x^2}{x^2+1}$

89. Discuta com seus colegas como cada uma das fórmulas no Exercício 88 muda se assumirmos que $\theta$ é um ângulo do Quadrante II, III ou IV.

90. Se $\sin(\theta) = \dfrac{x}{2}$ para $-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}$, encontre uma expressão para $\cos(2\theta)$ em termos de $x$.

    resposta
    $1 - \dfrac{x^{2}}{2}$

91. Se $\tan(\theta) = \dfrac{x}{7}$ para $-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}$, encontre uma expressão para $\sin(2\theta)$ em termos de $x$.

    resposta
    $\dfrac{14x}{x^{2} + 49}$

92. Se $\sec(\theta) = \dfrac{x}{4}$ para $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$, encontre uma expressão para $\ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)|$ em termos de $x$.

    resposta
    $\ln |x + \sqrt{x^{2} + 16}| - \ln(4)$

93. Mostre que $\cos^{2}(\theta) - \sin^{2}(\theta) = 2\cos^{2}(\theta) - 1 = 1 - 2\sin^{2}(\theta)$ para todo $\theta$.

94. Seja $\theta$ um ângulo do Quadrante III com $\cos(\theta) = -\dfrac{1}{5}$. Mostre que esta informação não é suficiente para determinar o sinal de $\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ assumindo primeiro que $3\pi < \theta < \dfrac{7\pi}{2 }$ e então assumindo que $\pi < \theta < \dfrac{3\pi}{2}$ e calculando $\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ em ambos os casos.

95. Sem usar sua calculadora, mostre que $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

96. No exercício 69, você verificou uma identidade que expressa $\cos(4\theta)$ como um polinômio em termos de $\cos(\theta)$. Você consegue encontrar um polinômio em termos de $\cos(\theta)$ para $\cos(5\theta)$? $\cos(6\theta)$? Você consegue encontrar um padrão para que $\cos(n\theta)$ possa ser escrito como um polinômio em cosseno para qualquer número natural $n$?

97. No exercício 65, você verifica uma identidade que expressa $\sin(3\theta)$ como um polinômio em termos de $\sin(\theta)$. Você pode fazer o mesmo para $\sin(5\theta)$? E quanto a $\sin(4\theta)$? Se não, o que há de errado?