Funções Exponencial e Logarítmica

20 Introdução às Funções Exponencial e Logaritmo

Nos Exercícios 1 - 15, use a propriedade: $b^{a} = c$ se e somente se $\log_{b}(c) = a$ para reescrever a equação dada na outra forma. Ou seja, reescreva as equações exponenciais como equações logarítmicas e reescreva as equações logarítmicas como equações exponenciais.

1. $2^{3} = 8$

   resposta
   $\log_{2}(8) = 3$

2. $5^{-3} = \frac{1}{125}$

   resposta
   $\log_{5}\left(\frac{1}{125}\right) = -3$

3. $4^{5/2} = 32$

   resposta
   $\log_{4}(32) = \frac{5}{2}$

4. $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9$

   resposta
   $\log_{\frac{1}{3}}(9) = -2$

5. $\left(\frac{4}{25}\right)^{-1/2} = \frac{5}{2}$

   resposta
   $\log_{\frac{4}{25}}\left(\frac{5}{2}\right) = -\frac{1}{2}$

6. $10^{-3} = 0.001$

   resposta
   $\log(0.001) = -3$

7. $e^{0} = 1$

   resposta
   $\ln(1) = 0$

8. $\log_{5}(25) = 2$

   resposta
   $5^{2} = 25$

9. $\log_{25} (5) = \frac{1}{2}$

   resposta
   $(25)^{\frac{1}{2}} = 5$

10. $\log_{3} \left(\frac{1}{81} \right) = -4$

    resposta
    $3^{-4} = \frac{1}{81}$

11. $\log_{\frac{4}{3}} \left(\frac{3}{4} \right) = -1$

    resposta
    $\left(\frac{4}{3} \right)^{-1} = \frac{3}{4}$

12. $\log(100) = 2$

    resposta
    $10^{2} = 100$

13. $\log (0.1) = -1$

    resposta
    $10^{-1} = 0.1$

14. $\ln(e) = 1$

    resposta
    $e^{1} = e$

15. $\ln\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = -\frac{1}{2}$

    resposta
    $e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

Nos Exercícios 16 - 42, avalie a expressão.

16. $\log_{3} (27)$

    resposta
    $\log_{3} (27) = 3$
17. $\log_{6} (216)$

    resposta
    $\log_{6} (216) = 3$
18. $\log_{2} (32)$

    resposta
    $\log_{2} (32) = 5$

19. $\log_{6} \left( \frac{1}{36} \right)$

    resposta
    $\log_{6} \left( \frac{1}{36} \right) = -2$
20. $\log_{8} (4)$

    resposta
    $\log_{8} (4) = \frac{2}{3}$
21. $\log_{36} (216)$

    resposta
    $\log_{36} (216) = \frac{3}{2}$

22. $\log_{\frac{1}{5}} (625)$

    resposta
    $\log_{\frac{1}{5}} (625) = -4$
23. $\log_{\frac{1}{6}} (216)$

    resposta
    $\log_{\frac{1}{6}} (216) = -3$
24. $\log_{36} (36)$

    resposta
    $\log_{36} (36)=1$

25. $\log \left(\frac{1}{1000000}\right)$

    resposta
    $\log \frac{1}{1000000} = -6$
26. $\log(0.01)$

    resposta
    $\log(0.01) = -2$
27. $\ln\left(e^3\right)$

    resposta
    $\ln\left(e^3\right) = 3$

28. $\log_{4} (8)$

    resposta
    $\log_{4} (8) = \frac{3}{2}$
29. $\log_{6} (1)$

    resposta
    $\log_{6} (1) = 0$
30. $\log_{13} \left(\sqrt{13}\right)$

    resposta
    $\log_{13} \left(\sqrt{13}\right) = \frac{1}{2}$

31. $\log_{36} \left(\sqrt[4]{36}\right)$

    resposta
    $\log_{36} \left(\sqrt[4]{36}\right) = \frac{1}{4}$
32. $7^{\log_{7} (3)}$

    resposta
    $7^{\log_{7} (3)} = 3$
33. $36^{\log_{36}(216)}$

    resposta
    $36^{\log_{36}(216)} = 216$

34. $\log_{36} \left(36^{216}\right)$

    resposta
    $\log_{36} \left(36^{216}\right) = 216$
35. $\ln \left(e^{5} \right)$

    resposta
    $\ln(e^{5}) = 5$
36. $\log \left(\sqrt[9]{10^{11}}\right)$

    resposta
    $\log \left(\sqrt[9]{10^{11}}\right) = \frac{11}{9}$

37. $\log\left( \sqrt[3]{10^5} \right)$

    resposta
    $\log\left( \sqrt[3]{10^5} \right) = \frac{5}{3}$
38. $\ln \left( \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$

    resposta
    $\ln \left( \frac{1}{\sqrt{e}}\right) = -\frac{1}{2} $
39. $\log_{5} \left(3^{\log_{3} (5)}\right)$

    resposta
    $\log_{5} \left(3^{\log_{3} 5}\right) = 1$

40. $\log\left(e^{\ln(100)}\right)$

    resposta
    $\log\left(e^{\ln(100)}\right) = 2$
41. $\log_{2}\left(3^{-\log_{3}(2)}\right)$

    resposta
    $\log_{2}\left(3^{-\log_{3}(2)}\right) = -1$
42. $\ln\left(42^{6\log(1)}\right)$

    resposta
    $\ln\left(42^{6\log(1)}\right) = 0$

Nos Exercícios 43 - 57, encontre o domínio da função.

43. $f(x) = \ln(x^{2} + 1)$

    resposta
    $(-\infty, \infty)$
44. $f(x) = \log_{7}(4x + 8)$

    resposta
    $(-2, \infty)$

45. $f(x) = \ln(4x-20)$

    resposta
    $(5, \infty)$

46. $f(x) = \log \left(x^2+9x+18\right)$

    resposta
    $(-\infty, -6) \cup (-3, \infty)$

47. $f(x) = \log \left(\dfrac{x + 2}{x^{2} - 1}\right)$

    resposta
    $(-2, -1) \cup (1, \infty)$
48. $f(x) = \log\left(\dfrac{x^2+9x+18}{4x-20}\right)$

    resposta
    $(-6,-3) \cup (5, \infty)$

49. $f(x) = \ln(7 - x) + \ln(x - 4)$

    resposta
    $(4, 7)$
50. $f(x) = \ln(4x-20) + \ln\left(x^2+9x+18\right)$

    resposta
    $(5, \infty)$

51. $f(x) = \log\left(x^2+x+1\right)$

    resposta
    $(-\infty, \infty)$

52. $f(x) = \sqrt[4]{\log_{4} (x)}$

    resposta
    $[1, \infty)$

53. $f(x) = \log_{9}(|x + 3| - 4)$

    resposta
    $(-\infty, -7) \cup (1, \infty)$
54. $f(x) = \ln(\sqrt{x - 4} - 3)$

    resposta
    $(13, \infty)$

55. $f(x) = \dfrac{1}{3 - \log_{5} (x)}$

    resposta
    $(0, 125) \cup (125, \infty)$
56. $f(x) = \dfrac{\sqrt{-1 - x}}{\log_{\frac{1}{2}} (x)}$

    resposta
    Domínio vazio

57. $f(x) = \ln(-2x^{3} - x^{2} + 13x - 6)$

    resposta
    $(-\infty, -3) \cup \left(\frac{1}{2}, 2\right)$

Nos Exercícios 58 - 63, esboce o gráfico de $y=g(x)$ começando com o gráfico de $y = f(x)$ e usando transformações. Acompanhe pelo menos três pontos de sua escolha e a assíntota horizontal através das transformações. Indique o domínio e a imagem de $g$.

58. $f(x) = 2^{x}$, $g(x) = 2^{x} - 1$

    resposta
    Domínio de $g$: $(-\infty, \infty)$
    Imagem de $g$: $(-1, \infty)$
    

    

59. $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$, $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-1}$

    resposta
    Domínio de $g$: $(-\infty, \infty)$
    Imagem de $g$: $(0, \infty)$
    

    

60. $f(x) = 3^{x}$, $g(x) = 3^{-x}+2$

    resposta
    Domínio de $g$: $(-\infty, \infty)$
    Imagem de $g$: $(2, \infty)$
    

    

61. $f(x) = 10^{x}$, $g(x) = 10^{\frac{x+1}{2}} - 20$

    resposta
    Domínio de $g$: $(-\infty, \infty)$
    Imagem de $g$: $(-20, \infty)$
    

    

62. $f(x) = e^{x}$, $g(x) = 8 - e^{-x}$

    resposta
    Domínio de $g$: $(-\infty, \infty)$
    Imagem de $g$: $(-\infty, 8)$
    

    

63. $f(x) = e^{x}$, $g(x) = 10e^{-0.1x}$

    resposta
    Domínio de $g$: $(-\infty, \infty)$
    Imagem de $g$: $(0, \infty)$
    

    

Nos Exercícios 64 - 69, esboce o gráfico de $y=g(x)$ começando com o gráfico de $y = f(x)$ e usando transformações. Acompanhe pelo menos três pontos de sua escolha e a assíntota vertical através das transformações. Indique o domínio e a imagem de $g$.

64. $f(x) = \log_{2}(x)$, $g(x) = \log_{2}(x+1)$

    resposta
    Domínio de $g$: $(-1, \infty)$
    Imagem de $g$: $(-\infty, \infty)$
    

    

65. $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x)$, $g(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x)+1$

    resposta
    Domínio de $g$: $(0, \infty)$
    Imagem de $g$: $(-\infty, \infty)$
    

    

66. $f(x) = \log_{3}(x)$, $g(x) = -\log_{3}(x-2)$

    resposta
    Domínio de $g$: $(2, \infty)$
    Imagem de $g$: $(-\infty, \infty)$
    

    

67. $f(x) = \log(x)$, $g(x) = 2\log(x+20) -1$

    resposta
    Domínio de $g$: $(-20, \infty)$
    Imagem de $g$: $(-\infty, \infty)$
    

    

68. $f(x) = \ln(x)$, $g(x) = -\ln(8-x)$

    resposta
    Domínio de $g$: $(-\infty, 8)$
    Imagem de $g$:$(-\infty, \infty)$
    

    

69. $f(x) = \ln(x)$, $g(x) = -10\ln\left(\frac{x}{10}\right)$

    resposta
    Domínio de $g$: $(0, \infty)$
    Imagem de $g$: $(-\infty, \infty)$
    

    

70. Verifique se cada função nos Exercícios 64 - 69 é o inverso da função correspondente nos Exercícios 58 - 63. (Combine \#58 e \#64 e assim por diante.)

Nos Exercícios 71 - 74, encontre a inversa da função a partir da “perspectiva procedural” e represente graficamente a função e sua inversa no mesmo conjunto de eixos.

71. $f(x) = 3^{x + 2} - 4$

    resposta
    $f(x) = 3^{x + 2} - 4$
    $f^{-1}(x) = \log_{3}(x + 4) - 2$
    

    

72. $f(x) = \log_{4}(x - 1)$

    resposta
    $f(x) = \log_{4}(x - 1)$
    $f^{-1}(x) = 4^{x} + 1$
    

    

73. $f(x) = -2^{-x} + 1$

    resposta
    $f(x) = -2^{-x} + 1$
    $f^{-1}(x) = -\log_{2}(1 - x)$
    

    

74. $f(x) = 5\log(x) - 2$

    resposta
    $f(x) = 5\log(x) - 2$
    $f^{-1}(x) = 10^{\frac{x + 2}{5}}$
    

    

(Escalas Logarítmicas) Nos Exercícios 75 - 77, introduzimos três escalas de medição amplamente utilizadas que envolvem logaritmos comuns: a escala Richter, a escala de decibéis e a escala de pH. Os cálculos envolvidos em todas as três escalas são quase idênticos, por isso preste atenção às diferenças sutis.

75. Os terremotos são eventos complicados e não é nossa intenção fornecer uma discussão completa da ciência envolvida neles. Em vez disso, encaminhamos o leitor interessado para um curso sólido em Geologia^{*sólido como uma rocha, talvez?} ou o Programa de Riscos de Terremotos do Serviço Geológico dos EUA encontrado em aqui e apresente apenas uma versão simplificada da escala Richter. A escala Richter mede a magnitude de um terremoto comparando a amplitude das ondas sísmicas de um determinado terremoto com aquelas de um “evento de magnitude 0”, que foi escolhido para ser uma leitura sismográfica de $ 0.001 $ milímetros registrada em um sismômetro 100 quilômetros do epicentro do terremoto. Especificamente, a magnitude de um terremoto é dada por \[M(x) = \log \left(\dfrac{x}{0.001}\right)\] onde $x$ é a leitura do sismógrafo em milímetros do terremoto registrado 100 quilômetros do epicentro.

    1. Mostre que $M(0.001) = 0$.
    2. Calcule $M(80,000)$.
    3. Mostre que um terremoto que registrou 6.7 na escala Richter teve uma leitura sismográfica dez vezes maior do que um terremoto que mediu 5.7.
    4. Encontre duas notícias sobre terremotos recentes que apresentam suas magnitudes na escala Richter. Quantas vezes maior foi a leitura do sismógrafo do terremoto de maior magnitude?

    resposta

    1. $M(0.001) = \log \left(\frac{0.001}{0.001} \right) = \log(1) = 0$.
    2. $M(80,000) = \log \left(\frac{80,000}{0.001} \right) = \log(80,000,000) \approx 7.9$.

76. Embora a escala de decibéis possa ser usada em muitas disciplinas,^{*Veja esta webpage para obter mais informações.} restringiremos nossa atenção ao seu uso em acústica, especificamente na medição do nível de intensidade do som. O nível de intensidade sonora $L$ (medido em decibéis) de uma intensidade sonora $I$ (medido em watts por metro quadrado) é dado por \[L(I) = 10\log\left( \dfrac{I}{10^{-12}} \right).\] Assim como a escala Richter, esta escala compara $I$ com uma linha de base: $10^{-12} \frac{W}{m^{2}}$ é o limiar da audição humana.

    1. Calcule $L(10^{-6})$.
    2. Os danos à sua audição podem começar com uma exposição de curto prazo a níveis sonoros em torno de 115 decibéis. Que intensidade $I$ é necessária para produzir este nível?
    3. Calcule $L(1)$. Como isso se compara ao limiar da dor que gira em torno de 140 decibéis?

    resposta

    1. $L(10^{-6}) = 60$ decibéis.
    2. $I = 10^{-.5} \approx 0.316$ watts por metro quadrado.
    3. Como $L(1) = 120$ decibéis e $L(100) = 140$ decibéis, um som com nível de intensidade de 140 decibéis tem uma intensidade 100 vezes maior que um som com nível de intensidade de 120 decibéis.

77. O pH de uma solução é uma medida de sua acidez ou alcalinidade. Especificamente, $\text{pH} = -\log[\text{H}^{+}]$ onde $[\text{H}^{+}]$ é a concentração de íons de hidrogênio em moles por litro. Uma solução com pH inferior a 7 é um ácido, uma com pH superior a 7 é uma base (alcalina) e um pH de 7 é considerado neutro.

    1. A concentração de íons de hidrogênio da água pura é $[\text{H}^{+}] = 10^{-7}$. Encontre seu pH.
    2. Encontre o pH de uma solução com $[\text{H}^{+}] = 6.3 \times 10^{-13}$.
    3. O pH do ácido gástrico (o ácido do estômago) é de cerca de $0.7$. Qual é a concentração de íons de hidrogênio correspondente?

    resposta

    1. O pH da água pura é 7.
    2. Se $[\text{H}^{+}] = 6.3 \times 10^{-13}$ então a solução tem um pH de 12.2.
    3. $[\text{H}^{+}] = 10^{-0.7} \approx 0.1995$ moles por litro.

78. Mostre que $\log_{b} 1 = 0$ e $\log_{b} b = 1$ para cada $b > 0, \; b \neq 1$.

79. (Pergunta bônus maluca) Sem usar sua calculadora, determine qual é maior: $e^{\pi}$ ou $\pi^{e}$.