Funções Exponencial e Logarítmica

21 Propriedades do Logaritmo

Nos Exercícios 1 - 15, expanda o logaritmo dado e simplifique. Suponha, quando necessário, que todas as quantidades representam números reais positivos.

1. $\ln(x^{3}y^{2})$

   resposta
   $3\ln(x) + 2\ln(y)$
2. $\log_{2}\left(\dfrac{128}{x^{2} + 4}\right)$

   resposta
   $7 - \log_{2}(x^{2} + 4)$

3. $\log_{5}\left(\dfrac{z}{25}\right)^{3}$

   resposta
   $3\log_{5}(z) - 6$

4. $\log(1.23 \times 10^{37})$

   resposta
   $\log(1.23) + 37$

5. $\ln\left(\dfrac{\sqrt{z}}{xy}\right)$

   resposta
   $\frac{1}{2}\ln(z) - \ln(x) - \ln(y)$
6. $\log_{5} \left(x^2 - 25 \right)$

   resposta
   $\log_{5}(x-5) + \log_{5}(x+5)$

7. $\log_{\sqrt{2}} \left(4x^3\right)$

   resposta
   $3\log_{\sqrt{2}}(x) + 4$
8. $\log_{\frac{1}{3}}(9x(y^{3} - 8))$

   resposta
   $-2 + \log_{\frac{1}{3}}(x) + \log_{\frac{1}{3}}(y - 2) + \log_{\frac{1}{3}}(y^{2} + 2y + 4)$

9. $\log\left(1000x^3y^5\right)$

   resposta
   $3 + 3\log(x) + 5 \log(y)$

10. $\log_{3} \left(\dfrac{x^2}{81y^4}\right)$

    resposta
    $2\log_{3}(x) - 4 - 4\log_{3}(y)$

11. $\ln\left(\sqrt[4]{\dfrac{xy}{ez}}\right)$

    resposta
    $\frac{1}{4} \ln(x) + \frac{1}{4} \ln(y) - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \ln(z)$
12. $\log_{6} \left(\dfrac{216}{x^3y}\right)^4$

    resposta
    $12-12\log_{6}(x) - 4\log_{6}(y)$

13. $\log\left(\dfrac{100x\sqrt{y}}{\sqrt[3]{10}}\right)$

    resposta
    $\frac{5}{3}+\log(x)+\frac{1}{2}\log(y)$
14. $\log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{4\sqrt[3]{x^2}}{y\sqrt{z}}\right)$

    resposta
    $-2+\frac{2}{3}\log_{\frac{1}{2}}(x)-\log_{\frac{1}{2}}(y)-\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}}(z)$

15. $\ln \left(\dfrac{\sqrt[3]{x}}{10 \sqrt{yz}}\right)$

    resposta
    $\frac{1}{3} \ln(x) - \ln(10) - \frac{1}{2}\ln(y)-\frac{1}{2}\ln(z)$

Nos Exercícios 16 - 29, use as propriedades dos logaritmos para escrever a expressão como um único logaritmo.

16. $4\ln(x) + 2\ln(y)$

    resposta
    $\ln(x^{4}y^{2})$
17. $\log_{2}(x) + \log_{2}(y) - \log_{2}(z)$

    resposta
    $\log_{2}\left(\frac{xy}{z}\right)$

18. $\log_{3}(x) - 2 \log_{3}(y)$

    resposta
    $\log_{3} \left( \frac{x}{y^2} \right)$
19. $\frac{1}{2}\log_{3}(x) - 2\log_{3}(y) - \log_{3}(z)$

    resposta
    $\log_{3}\left(\frac{\sqrt{x}}{y^{2}z}\right)$

20. $2 \ln(x) -3 \ln(y) - 4\ln(z)$

    resposta
    $\ln\left( \frac{x^2}{y^3z^4} \right)$
21. $\log(x) - \frac{1}{3} \log(z) + \frac{1}{2} \log(y)$

    resposta
    $\log\left(\frac{x \sqrt{y}}{\sqrt[3]{z}} \right)$

22. $-\frac{1}{3} \ln(x) - \frac{1}{3}\ln(y) + \frac{1}{3} \ln(z)$

    resposta
    $\ln\left(\sqrt[3]{\frac{z}{xy}} \right)$

23. $\log_{5}(x) - 3$

    resposta
    $\log_{5}\left(\frac{x}{125}\right)$

24. $3 - \log(x)$

    resposta
    $\log\left(\frac{1000}{x}\right)$
25. $\log_{7}(x) + \log_{7}(x - 3) - 2$

    resposta
    $\log_{7}\left(\frac{x(x - 3)}{49}\right)$

26. $\ln(x) + \frac{1}{2}$

    resposta
    $\ln \left(x \sqrt{e} \right)$
27. $\log_{2}(x) + \log_{4}(x)$

    resposta
    $\log_{2}\left(x^{3/2}\right)$

28. $\log_{2}(x) + \log_{4}(x-1)$

    resposta
    $\log_{2}\left(x \sqrt{x-1}\right)$

29. $\log_{2}(x) + \log_{\frac{1}{2}}(x - 1)$

    resposta
    $\vphantom{\frac{\log(x + 2)}{\log(3)}}\log_{2}\left(\frac{x}{x - 1}\right)$

Nos Exercícios 30 - 33, use a fórmula de mudança de base apropriada para converter a expressão dada em uma expressão com a base indicada.

30. $7^{x - 1}$ para base $e$

    resposta
    $\vphantom{\frac{\log(x + 2)}{\log(3)}}7^{x - 1} = e^{(x - 1)\ln(7)}$
31. $\log_{3}(x + 2)$ para base 10

    resposta
    $\log_{3}(x + 2) = \frac{\log(x + 2)}{\log(3)}$

32. $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}$ para base $e$

    resposta
    $\left(\frac{2}{3}\right)^{x} = e^{x\ln(\frac{2}{3})}$
33. $\log(x^{2} + 1)$ para base $e$

    resposta
    $\log(x^{2} + 1) = \frac{\ln(x^{2} + 1)}{\ln(10)}$

Nos Exercícios 34 - 39, use a fórmula de mudança de base apropriada para aproximar o logaritmo.

34. $\log_{3}(12)$

    resposta
    $\log_{3}(12) \approx 2.26186$
35. $\log_{5}(80)$

    resposta
    $\log_{5}(80) \approx 2.72271$

36. $\log_{6}(72)$

    resposta
    $\log_{6}(72) \approx 2.38685$

37. $\log_{4}\left(\dfrac{1}{10}\right)$

    resposta
    $\log_{4}\left(\frac{1}{10}\right) \approx -1.66096$

38. $\log_{\frac{3}{5}}(1000)$

    resposta
    $\log_{\frac{3}{5}}(1000) \approx -13.52273$
39. $\log_{\frac{2}{3}}(50)$

    resposta
    $\log_{\frac{2}{3}}(50) \approx -9.64824$

40. Compare e contraste os gráficos de $y = \ln(x^{2})$ e $y = 2\ln(x)$.

41. Prove a regra do quociente e a regra da potência para logaritmos.

42. Dê exemplos numéricos para mostrar que, em geral,

    1. $\log_{b}(x + y) \neq \log_{b}(x) + \log_{b}(y)$
    2. $\log_{b}(x - y) \neq \log_{b}(x) - \log_{b}(y)$
    3. $\log_{b}\left(\dfrac{x}{y}\right) \neq \dfrac{\log_{b}(x)}{\log_{b}(y)}$

43. A equação de Henderson-Hasselbalch: Suponha que $HA$ represente um ácido fraco. Então temos uma reação química reversível \[HA \rightleftharpoons H^{+} + A^{-}.\] A constante de dissociação ácida, $K_{a}$, é dada por \[K_{a} = \frac{[H^{+}][A^{-}]}{[HA]} = [H^{+}]\frac{[A^{-}]} {[HA]},\] onde os colchetes denotam as concentrações exatamente como fizemos no Exercício 77 na Capítulo 20. O símbolo p$K_{a}$ é definido de forma semelhante ao pH em que p$K_{a} = -\log(K_{a})$. Usando a definição de pH do Exercício 77 e as propriedades dos logaritmos, derive a Equação de Henderson-Hasselbalch que afirma \[\text{pH} = \text{p}K_{a} + \log\dfrac{[A^{-}]}{[HA]}\]

44. Pesquise a história dos logaritmos, incluindo a origem da própria palavra “logaritmo”.

45. Há uma cena no filme “Apollo 13” em que várias pessoas no Controle da Missão usam réguas de cálculo para verificar um cálculo. Essa cena foi precisa? Procure outras referências da cultura pop a logaritmos e réguas de cálculo.