Funções Polinomiais e Racionais

18 Função Inversa

Resumo do capítulo

Somente funções injetoras (biunívocas) possuem inversa. O capítulo ensina a reconhecer quando uma função é injetora, a encontrar e verificar a fórmula de sua inversa, e a relacionar os gráficos de $f$ e $f^{-1}$ por reflexão em torno da reta $y=x$.

Nos exercícios 1 - 20, mostre que a função é injetiva e encontre a inversa. Verifique sua resposta algebricamente e graficamente com o GeoGebra. Verifique que a imagem de $f$ é o domínio de $f^{-1}$ e vice-versa.

$f(x) = 6x - 2$
resposta
$f^{-1}(x) = \dfrac{x + 2}{6}$
$f(x) = 42-x$
resposta
$f^{-1}(x) = 42-x$

$f(x) = \dfrac{x-2}{3} + 4$
resposta
$f^{-1}(x) = 3x-10$
$f(x) = 1 - \dfrac{4+3x}{5}$
resposta
$f^{-1}(x) = -\frac{5}{3} x + \frac{1}{3}$

$f(x) = \sqrt{3x-1}+5$
resposta
$f^{-1}(x) = \frac{1}{3}(x-5)^2+\frac{1}{3}$, $x \geq 5$
$f(x) = 2-\sqrt{x - 5}$
resposta
$f^{-1}(x) = (x - 2)^{2} + 5, \; x \leq 2$

$f(x) = 3\sqrt{x-1}-4$
resposta
$f^{-1}(x) = \frac{1}{9}(x+4)^2+1$, $x \geq -4$
$f(x) = 1 - 2\sqrt{2x+5}$
resposta
$f^{-1}(x) = \frac{1}{8}(x-1)^2-\frac{5}{2}$, $x \leq 1$

$f(x) = \sqrt[5]{3x-1}$
resposta
$f^{-1}(x) = \frac{1}{3} x^{5} + \frac{1}{3}$
$f(x) = 3-\sqrt[3]{x-2}$
resposta
$f^{-1}(x) = -(x-3)^3+2$

$f(x) = x^2 - 10x$, $x \geq 5$
resposta
$f^{-1}(x) = 5 + \sqrt{x+25}$
$f(x) = 3(x + 4)^{2} - 5, \; x \leq -4$
resposta
$f^{-1}(x) = -\sqrt{\frac{x + 5}{3}} - 4$

$f(x) = x^2-6x+5, \; x \leq 3$
resposta
$f^{-1}(x) = 3 - \sqrt{x+4}$
$f(x) = 4x^2 + 4x + 1$, $x < -1$
resposta
$f^{-1}(x) =-\frac{\sqrt{x}+1}{2}$, $x > 1$

$f(x) = \dfrac{3}{4-x}$
resposta
$f^{-1}(x) = \dfrac{4x-3}{x}$
$f(x) = \dfrac{x}{1-3x}$
resposta
$f^{-1}(x) = \dfrac{x}{3x+1}$

$f(x) = \dfrac{2x-1}{3x+4}$
resposta
$f^{-1}(x) = \dfrac{4x+1}{2-3x}$
$f(x) = \dfrac{4x + 2}{3x - 6}$
resposta
$f^{-1}(x) = \dfrac{6x + 2}{3x - 4}$

$f(x) = \dfrac{-3x - 2}{x + 3}$
resposta
$f^{-1}(x) = \dfrac{-3x - 2}{x + 3}$
$f(x) = \dfrac{x-2}{2x-1}$
resposta
$f^{-1}(x) = \dfrac{x-2}{2x-1}$

Com a ajuda de seus colegas, encontre as inversas das funções dadas nos exercícios 21 - 24.

$f(x) = ax + b, \; a \neq 0$
$f(x) = a\sqrt{x - h} + k, \; a \neq 0, x \geq h$

$f(x) = ax^{2} + bx + c$ onde $a \neq 0, \, x \geq -\dfrac{b}{2a}$.
$f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d},\;$ (ver exercício 32 abaixo.)

A função preço-demanda de um tocador de mp3 é dada como uma função das vendas semanais $x$ de acordo com $p(x) = 450-15x$ para $0 \leq x \leq 30$.
1. Encontre $p^{-1}(x)$ e determine seu domínio.
2. Encontre e interprete $p^{-1}(105)$.
3. O lucro da produção e venda de $x$ tocadores por semana é $P(x)= -15x^2+350x-2000$, para $0 \leq x \leq 30$. Encontre $\left(P \circ p^{-1}\right)(x)$ e determine que preço determina o lucro máximo. Qual é o lucro máximo? Quantos tocadores precisam ser produzidos e vendidos para se atingir o lucro máximo?
resposta
1. $p^{-1}(x) = \frac{450-x}{15}$. O domínio de $p^{-1}$ é a imagem de $p$ que é $[0,450]$
2. $p^{-1}(105) = 23$. Isso significa que se o preço é posto em $\$105$ então $23$ tocadores serão vendidos.
3. $\left(P\circ p^{-1}\right)(x) = -\frac{1}{15} x^2 + \frac{110}{3} x - 5000$, $0 \leq x \leq 450$. O gráfico de $y = \left(P\circ p^{-1}\right)(x)$ é uma parábola voltada para baixo com vértice $\left(275, \frac{125}{3}\right) \approx (275, 41.67)$. Isso significa que o lucro máximo é $\$41.67$ quando o preço do tocador é posto em $\$275$. A este preço, podemos vender $p^{-1}(275) = 11.\overline{6}$ tocadores. Como não é possível vender parte do tocador, precisamos ajustar o preço para vender ou $11$ ou $12$ tocadores. Encontramos $p(11) = 285$ e $p(12) = 270$, o que significa que o preço por tocador é ou $\$285$ ou $\$270$, respectivamente. Os lucros a esses preços são $\left(P\circ p^{-1}\right)(285) = 35$ e $\left(P\circ p^{-1}\right)(270) = 40$, portanto o lucro máximo é de $\$40$ e ele ocorre quando se vende $12$ tocadores por semana ao preço de $\$270$.
Mostre que a função de conversão de Fahrenheit para Celsius encontrada no exercício 35 da Capítulo 8 é inversível e que sua inversa é a função de conversão de Celsius para Fahrenheit.
Mostre analiticamente que a função $f(x) = x^3 + 3x + 1$ é injetiva. Como encontrar a inversa dessa função é difícil, use o fato que $y=f(x)$ se, e somente se, $x=f^{-1}(y)$ para calcular $f^{-1}(1), \; f^{-1}(5), \;$ e $f^{-1}(-3)$.
resposta
Como $f(0) = 1$, temos que $f^{-1}(1) = 0$. Analogamente $f^{-1}(5) = 1$ e $f^{-1}(-3) = -1$
Com a ajuda de seus colegas, explique por que uma função que é estritamente crescente ou estritamente decrescente em seu domínio deve ser injetiva, logo inversível.
Se $f$ é ímpar e inversível, prove que $f^{-1}$ é também ímpar.
Sejam $f$ e $g$ funções inversíveis. Com a ajuda de seus colegas, mostre que $(f \circ g)$ é injetiva, logo inversível, e que $(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)$.
Que característica o gráfico de uma função $f$ deve possuir para $f$ seja sua própria inversa?
Que condições devemos impor aos valores de $a, b, c$ e $d$ no exercício 24 a fim de garantir que a função seja inversível?