Funções Polinomiais e Racionais

17 Composição de Funções

Nos exercícios 1 - 12, use o par de funções dado para encontrar os seguintes valores, caso existam.

• $(g\circ f)(0)$

• $(f\circ g)(-1)$

• $(f \circ f)(2)$

• $(g\circ f)(-3)$

• $(f\circ g)\left(\frac{1}{2}\right)$

• $(f \circ f)(-2)$

1. $f(x) = x^2$, $g(x) = 2x+1$

   resposta
   Para $f(x) = x^2$ e $g(x) = 2x+1$,

   • $(g\circ f)(0) = 1$

   • $(f\circ g)(-1) = 1$

   • $(f \circ f)(2) = 16$

   • $(g\circ f)(-3) = 19$

   • $(f\circ g)\left(\frac{1}{2}\right) = 4$

   • $(f \circ f)(-2) = 16$

2. $f(x) = 4-x$, $g(x) = 1-x^2$

   resposta
   Para $f(x) = 4-x$ e $g(x) = 1-x^2$,

   • $(g\circ f)(0) = -15$

   • $(f\circ g)(-1) = 4$

   • $(f \circ f)(2) = 2$

   • $(g\circ f)(-3) = -48$

   • $(f\circ g)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{13}{4}$

   • $(f \circ f)(-2) = -2$

3. $f(x) = 4-3x$, $g(x) = |x|$

   resposta
   Para $f(x) = 4-3x$ e $g(x) = |x|$,

   • $(g\circ f)(0) = 4$

   • $(f\circ g)(-1) = 1$

   • $(f \circ f)(2) = 10$

   • $(g\circ f)(-3) = 13$

   • $(f\circ g)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{5}{2}$

   • $(f \circ f)(-2) = -26$

4. $f(x) = |x-1|$, $g(x) = x^2-5$

   resposta
   Para $f(x) = |x-1|$ e $g(x) = x^2-5$,

   • $(g\circ f)(0) = -4$

   • $(f\circ g)(-1) = 5$

   • $(f \circ f)(2) = 0$

   • $(g\circ f)(-3) = 11$

   • $(f\circ g)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{23}{4}$

   • $(f \circ f)(-2) = 2$

5. $f(x) = 4x+5$, $g(x) = \sqrt{x}$

   resposta
   Para $f(x) = 4x+5$ e $g(x) = \sqrt{x}$,

   • $(g\circ f)(0) = \sqrt{5}$

   • $(f\circ g)(-1)$ não é real

   • $(f \circ f)(2) = 57$

   • $(g\circ f)(-3)$ não é real

   • $(f\circ g)\left(\frac{1}{2}\right) = 5+2\sqrt{2}$

   • $(f \circ f)(-2) = -7$

6. $f(x) = \sqrt{3-x}$, $g(x) = x^2+1$

   resposta
   Para $f(x) = \sqrt{3-x}$ e $g(x) = x^2+1$,

   • $(g\circ f)(0) = 4$

   • $(f\circ g)(-1) = 1$

   • $(f \circ f)(2) = \sqrt{2}$

   • $(g\circ f)(-3) = 7$

   • $(f\circ g)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{7}}{2}$

   • $(f \circ f)(-2) = \sqrt{3 - \sqrt{5}}$

7. $f(x) = 6-x-x^2$, $g(x) = x\sqrt{x+10}$

   resposta
   Para $f(x) = 6-x-x^2$ e $g(x) = x\sqrt{x+10}$,

   • $(g\circ f)(0) = 24$

   • $(f\circ g)(-1) = 0$

   • $(f \circ f)(2) = 6$

   • $(g\circ f)(-3) = 0$

   • $(f\circ g)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{27-2\sqrt{42}}{8}$

   • $(f \circ f)(-2) = -14$

8. $f(x) = \sqrt[3]{x+1}$, $g(x) = 4x^2-x$

   resposta
   Para $f(x) = \sqrt[3]{x+1}$ e $g(x) = 4x^2-x$,

   • $(g\circ f)(0) = 3$

   • $(f\circ g)(-1) = \sqrt[3]{6}$

   • $(f \circ f)(2) = \sqrt[3]{\sqrt[3]{3}+1}$

   • $(g\circ f)(-3) = 4\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}$

   • $(f\circ g)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt[3]{12}}{2}$

   • $(f \circ f)(-2) = 0$

9. $f(x) = \dfrac{3}{1-x}$, $g(x) = \dfrac{4x}{x^2+1}$

   resposta
   Para $f(x) = \frac{3}{1-x}$ e $g(x) = \frac{4x}{x^2+1}$,

   • $(g\circ f)(0) = \frac{6}{5}$

   • $(f\circ g)(-1) = 1$

   • $(f \circ f)(2) = \frac{3}{4}$

   • $(g\circ f)(-3) = \frac{48}{25}$

   • $(f\circ g)\left(\frac{1}{2}\right) = -5$

   • $(f \circ f)(-2)$ é indefinido

10. $f(x) = \dfrac{x}{x+5}$, $g(x) = \dfrac{2}{7-x^2}$

    resposta
    Para $f(x) = \frac{x}{x+5}$ e $g(x) = \frac{2}{7-x^2}$,

    • $(g\circ f)(0) = \frac{2}{7}$

    • $(f\circ g)(-1) = \frac{1}{16}$

    • $(f \circ f)(2) = \frac{2}{37}$

    • $(g\circ f)(-3) = \frac{8}{19}$

    • $(f\circ g)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{8}{143}$

    • $(f \circ f)(-2) = -\frac{2}{13}$

11. $f(x) = \dfrac{2x}{5-x^2}$, $g(x) = \sqrt{4x+1}$

    resposta
    Para $f(x) = \frac{2x}{5-x^2}$ e $g(x) = \sqrt{4x+1}$,

    • $(g\circ f)(0) = 1$

    • $(f\circ g)(-1)$ não é real

    • $(f \circ f)(2) = -\frac{8}{11}$

    • $(g\circ f)(-3) = \sqrt{7}$

    • $(f\circ g)\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3}$

    • $(f \circ f)(-2) = \frac{8}{11}$

12. $f(x) =\sqrt{2x+5}$, $g(x) = \dfrac{10x}{x^2+1}$

    resposta
    Para $f(x) =\sqrt{2x+5}$ e $g(x) = \frac{10x}{x^2+1}$ ,

    • $(g\circ f)(0) = \frac{5\sqrt{5}}{3}$

    • $(f\circ g)(-1)$ não é real

    • $(f \circ f)(2) = \sqrt{11}$

    • $(g\circ f)(-3)$ não é real

    • $(f\circ g)\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{13}$

    • $(f \circ f)(-2) = \sqrt{7}$

Nos exercícios 13 - 24, use o par de funções dado para encontrar expressões para as seguintes funções, simplificando quando possível. Determine ainda o domínio de cada função.

• $(g \circ f)(x)$

• $(f \circ g)(x)$

• $(f \circ f)(x)$

13. $f(x) = 2x+3$, $g(x) = x^2-9$

    resposta
    Para $f(x) = 2x+3$ e $g(x) = x^2-9$

    • $(g \circ f)(x) = 4x^2+12x$, domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(f \circ g)(x) = 2x^2-15$, domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(f \circ f)(x) = 4x+9$, domínio: $(-\infty, \infty)$

14. $f(x) = x^2 -x+1$, $g(x) = 3x-5$

    resposta
    Para $f(x) = x^2 -x+1$ e $g(x) = 3x-5$

    • $(g \circ f)(x) = 3x^2-3x-2$, domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(f \circ g)(x) =9x^2-33x+31$, domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(f \circ f)(x) = x^4-2x^3+2x^2-x+1$, domínio: $(-\infty, \infty)$

15. $f(x) = x^2-4$, $g(x) = |x|$

    resposta
    Para $f(x) = x^2-4$ e $g(x) = |x|$

    • $(g \circ f)(x) = |x^2-4|$, domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(f \circ g)(x) =|x|^2-4 = x^2-4$, domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(f \circ f)(x) =x^4-8x^2+12$, domínio: $(-\infty, \infty)$

16. $f(x) = 3x-5$, $g(x) = \sqrt{x}$

    resposta
    Para $f(x) = 3x-5$ e $g(x) = \sqrt{x}$

    • $(g \circ f)(x) = \sqrt{3x-5}$, domínio: $\left[ \frac{5}{3}, \infty \right)$

    • $(f \circ g)(x) = 3\sqrt{x}-5$, domínio: $[0,\infty)$

    • $(f \circ f)(x) = 9x-20$, domínio: $(-\infty, \infty)$

17. $f(x) = |x+1|$, $g(x) = \sqrt{x}$

    resposta
    Para $f(x) = |x+1|$ e $g(x) = \sqrt{x}$

    • $(g \circ f)(x) = \sqrt{|x+1|}$, domínio: $(-\infty, \infty)$

    • $(f \circ g)(x) = |\sqrt{x}+1| = \sqrt{x}+1$, domínio: $[0,\infty)$

    • $(f \circ f)(x) = ||x+1|+1| = |x+1|+1$, domínio: $(-\infty, \infty)$

18. $f(x) = 3-x^2$, $g(x) = \sqrt{x+1}$

    resposta
    Para $f(x) = 3-x^2$ e $g(x) = \sqrt{x+1}$

    • $(g \circ f)(x) = \sqrt{4-x^2}$, domínio: $[-2,2]$

    • $(f \circ g)(x) =2-x$, domínio: $[-1, \infty)$

    • $(f \circ f)(x) = -x^4+6x^2-6$, domínio: $(-\infty, \infty)$

19. $f(x) = |x|$, $g(x) = \sqrt{4-x}$

    resposta
    Para $f(x) = |x|$ e $g(x) = \sqrt{4-x}$

    • $(g \circ f)(x) = \sqrt{4-|x|}$, domínio: $[-4,4]$

    • $(f \circ g)(x) =|\sqrt{4-x}| = \sqrt{4-x}$, domínio: $(-\infty, 4]$

    • $(f \circ f)(x) = | |x| | = |x|$, domínio: $(-\infty, \infty)$

20. $f(x) = x^2-x-1$, $g(x) = \sqrt{x-5}$

    resposta
    Para $f(x) = x^2-x-1$ e $g(x) = \sqrt{x-5}$

    • $(g \circ f)(x) = \sqrt{x^2-x-6}$, domínio: $(-\infty, -2] \cup [3,\infty)$

    • $(f \circ g)(x) =x-6-\sqrt{x-5}$, domínio: $[5,\infty)$

    • $(f \circ f)(x) =x^4-2x^3-2x^2+3x+1$, domínio: $(-\infty, \infty)$

21. $f(x) = 3x-1$, $g(x) = \dfrac{1}{x+3}$

    resposta
    Para $f(x) = 3x-1$ e $g(x) = \frac{1}{x+3}$

    • $(g \circ f)(x) = \frac{1}{3x+2}$, domínio: $\left(-\infty, -\frac{2}{3}\right) \cup \left(-\frac{2}{3}, \infty\right)$

    • $(f \circ g)(x) = -\frac{x}{x+3}$, domínio: $\left(-\infty, -3\right) \cup \left(-3, \infty\right)$

    • $(f \circ f)(x) = 9x-4$, domínio: $(-\infty, \infty)$

22. $f(x) = \dfrac{3x}{x-1}$, $g(x) =\dfrac{x}{x-3}$

    resposta
    Para $f(x) = \frac{3x}{x-1}$ e $g(x) =\frac{x}{x-3}$

    • $(g \circ f)(x) =x$, domínio: $\left(-\infty, 1\right) \cup (1, \infty)$

    • $(f \circ g)(x) =x$, domínio: $\left(-\infty, 3\right) \cup (3,\infty)$

    • $(f \circ f)(x) = \frac{9x}{2x+1}$, domínio: $\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{2}, 1 \right) \cup \left(1,\infty \right)$

23. $f(x) = \dfrac{x}{2x+1}$, $g(x) = \dfrac{2x+1}{x}$

    resposta
    Para $f(x) = \frac{x}{2x+1}$ e $g(x) = \frac{2x+1}{x}$

    • $(g \circ f)(x) = \frac{4x+1}{x}$, domínio: $\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{2}, 0), \cup (0, \infty\right)$

    • $(f \circ g)(x) = \frac{2x+1}{5x+2}$, domínio: $\left(-\infty, -\frac{2}{5}\right) \cup \left(-\frac{2}{5}, 0\right) \cup (0,\infty)$

    • $(f \circ f)(x) = \frac{x}{4x+1}$, domínio: $\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4} \right) \cup \left(-\frac{1}{4},\infty\right)$

24. $f(x) = \dfrac{2x}{x^2-4}$, $g(x) =\sqrt{1-x}$

    resposta
    Para $f(x) = \frac{2x}{x^2-4}$ e $g(x) =\sqrt{1-x}$

    • $(g \circ f)(x) =\sqrt{\frac{x^2-2x-4}{x^2-4}}$, domínio: $\left(-\infty, -2\right) \cup \left[1-\sqrt{5}, 2\right) \cup \left[1+\sqrt{5}, \infty\right)$

    • $(f \circ g)(x) = -\frac{2\sqrt{1-x}}{x+3}$, domínio: $\left(-\infty, -3\right) \cup \left(-3, 1\right]$

    • $(f \circ f)(x) = \frac{4x-x^3}{x^4-9x^2+16}$, domínio: $\left(-\infty, -\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right) \cup \left(-\frac{1+\sqrt{17}}{2}, -2\right) \cup \left(-2, \frac{1-\sqrt{17}}{2}\right) \cup \left(\frac{1-\sqrt{17}}{2}, \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right) \cup \left(\frac{-1+\sqrt{17}}{2}, 2\right) \cup \left(2, \frac{1+\sqrt{17}}{2} \right) \cup \left(\frac{1+\sqrt{17}}{2}, \infty\right)$

Nos exercícios 25 - 30, use $f(x) = -2x$, $g(x) = \sqrt{x}$ e $h(x) = |x|$ para encontrar expressões para as seguintes funções, simplificando quando possível. Determine ainda o domínio de cada função.

25. $(h\circ g \circ f)(x)$

    resposta
    $(h\circ g \circ f)(x)= |\sqrt{-2x}|= \sqrt{-2x}$, domínio: $(-\infty, 0]$

26. $(h\circ f \circ g)(x)$

    resposta
    $(h\circ f \circ g)(x) = |-2\sqrt{x}|= 2\sqrt{x}$, domínio: $[0,\infty)$

27. $(g\circ f \circ h)(x)$

    resposta
    $(g\circ f \circ h)(x) = \sqrt{-2|x|}$, domínio: $\{0\}$

28. $(g\circ h \circ f)(x)$

    resposta
    $(g\circ h \circ f)(x) = \sqrt{|-2x|} = \sqrt{2|x|}$, domínio: $(-\infty, \infty)$

29. $(f\circ h \circ g)(x)$

    resposta
    $(f\circ h \circ g)(x) = -2|\sqrt{x}| = -2\sqrt{x}$, domínio: $[0,\infty)$

30. $(f\circ g \circ h)(x)$

    resposta
    $(f\circ g \circ h)(x) = -2\sqrt{|x|}$, , domínio: $(-\infty,\infty)$

Nos exercícios 31 - 40, escreva a função dada como a composição de duas ou mais funções distintas da função identidade. (Existem várias respostas!)

31. $p(x) = (2x+3)^3$

    resposta
    Sejam $f(x) = 2x+3$ e $g(x) = x^3$, então $p(x) = (g\circ f)(x)$.
32. $P(x) = \left(x^2-x+1\right)^5$

    resposta
    Sejam $f(x) = x^2-x+1$ e $g(x) = x^5$, $P(x) =(g\circ f)(x)$.

33. $h(x) = \sqrt{2x-1}$

    resposta
    Sejam $f(x) = 2x-1$ e $g(x) = \sqrt{x}$, então $h(x) = (g\circ f)(x)$.
34. $H(x) = |7-3x|$

    resposta
    Sejam $f(x) = 7-3x$ e $g(x) = |x|$, então $H(x) = (g\circ f)(x)$.

35. $r(x) = \dfrac{2}{5x+1}$

    resposta
    Sejam $f(x) = 5x+1$ e $g(x) = \frac{2}{x}$, então $r(x) =(g\circ f)(x)$.
36. $R(x) = \dfrac{7}{x^2-1}$

    resposta
    Sejam $f(x) = x^2-1$ e $g(x) = \frac{7}{x}$, então $R(x) =(g\circ f)(x)$.

37. $q(x) = \dfrac{|x|+1}{|x|-1}$

    resposta
    Sejam $f(x) = |x|$ e $g(x) = \frac{x+1}{x-1}$, então $q(x) =(g\circ f)(x)$.

38. $Q(x) = \dfrac{2x^3+1}{x^3-1}$

    resposta
    Sejam $f(x) = x^3$ e $g(x)= \frac{2x+1}{x-1}$, então $Q(x) =(g\circ f)(x)$.

39. $v(x) = \dfrac{2x+1}{3-4x}$

    resposta
    Sejam $f(x) =2x$ e $g(x) = \frac{x+1}{3-2x}$, então $v(x) =(g\circ f)(x)$.

40. $w(x) = \dfrac{x^2}{x^4+1}$

    resposta
    Sejam $f(x) = x^2$ e $g(x) = \frac{x}{x^2+1}$, então $w(x) =(g\circ f)(x)$.

41. Escreva a função $F(x) = \sqrt{\dfrac{x^{3} + 6}{x^{3} - 9}}$ como uma composição de três ou mais funções distintas da identidade.

    resposta
    $F(x) = \sqrt{\frac{x^{3} + 6}{x^{3} - 9}} = h(g(f(x)))$ onde $f(x) = x^{3}, \, g(x) = \frac{x + 6}{x - 9}$ e $h(x) = \sqrt{x}$.

42. Sejam $g(x) = -x, \, h(x) = x + 2, \, j(x) = 3x$ e $k(x) = x - 4$. Em que ordem essas funções devem ser compostas com $f(x) = \sqrt{x}$ para criar $F(x) = 3\sqrt{-x + 2} - 4$?

    resposta
    $F(x) = 3\sqrt{-x + 2} - 4 = k(j(f(h(g(x)))))$

43. Que funções lineares podem ser usadas para transformar $f(x) = x^{3}$ em $F(x) = -\frac{1}{2}(2x - 7)^{3} + 1$? Qual a ordem correta de composição?

    resposta
    Uma possível solução é $F(x) = -\frac{1}{2}(2x - 7)^{3} + 1 = k(j(f(h(g(x)))))$ onde $g(x) = 2x, \, h(x) = x - 7, \, j(x) = -\frac{1}{2}x$ e $k(x) = x + 1$. Outra solução é $F(x) = H(f(G(x)))$ onde $G(x) = 2x - 7$ e $H(x) = -\frac{1}{2}x + 1$.

Nos exercícios 44 - 55, seja $f$ a função definida por \[f = \{(-3, 4), (-2, 2), (-1, 0), (0, 1), (1, 3), (2, 4), (3, -1)\}\] e $g$ a função definida por \[g = \{(-3, -2), (-2, 0), (-1, -4), (0, 0), (1, -3), (2, 1), (3, 2)\}.\] Encontre o valor indicado, caso exista.

44. $(f \circ g)(3)$

    resposta
    $(f \circ g)(3)= f(g(3)) = f(2) = 4$
45. $f(g(-1))$

    resposta
    $f(g(-1)) = f(-4)$ que é indefinido

46. $(f \circ f)(0)$

    resposta
    $(f \circ f)(0) = f(f(0)) = f(1) = 3$

47. $(f \circ g)(-3)$

    resposta
    $(f \circ g)(-3) = f(g(-3)) = f(-2) = 2$

48. $(g \circ f)(3)$

    resposta
    $(g \circ f)(3) = g(f(3)) = g(-1) = -4$
49. $g(f(-3))$

    resposta
    $g(f(-3)) = g(4)$ que é indefinido

50. $(g \circ g)(-2)$

    resposta
    $(g \circ g)(-2) = g(g(-2)) = g(0) = 0$
51. $(g \circ f)(-2)$

    resposta
    $(g \circ f)(-2) = g(f(-2)) = g(2) = 1$

52. $g(f(g(0)))$

    resposta
    $g(f(g(0))) = g(f(0)) = g(1) = -3$

53. $f(f(f(-1)))$

    resposta
    $f(f(f(-1))) = f(f(0)) = f(1) = 3$

54. $f(f(f(f(f(1)))))$

    resposta
    $f(f(f(f(f(1))))) = f(f(f(f(3)))) =\\ f(f(f(-1))) = f(f(0)) = f(1) = 3$
55. $\underbrace{(g \circ g \circ \cdots \circ g)}_{\text{$n$ vezes}}(0)$

    resposta
    $\underbrace{(g \circ g \circ \cdots \circ g)}_{\text{$n$ vezes}}(0) = 0$

Nos exercícios 56 - 61, use os gráficos de $y=f(x)$ e $y=g(x)$ abaixo para encontrar o valor da função.

56. $(g\circ f)(1)$

    resposta
    $(g\circ f)(1) = 3$
57. $(f \circ g)(3)$

    resposta
    $(f \circ g)(3) = 4$
58. $(g\circ f)(2)$

    resposta
    $(g\circ f)(2) = 0$

59. $(f\circ g)(0)$

    resposta
    $(f\circ g)(0) = 4$
60. $(f\circ f)(1)$

    resposta
    $(f\circ f)(1) = 3$
61. $(g \circ g)(1)$

    resposta
    $(g \circ g)(1) = 0$

62. O volume $V$ de um cubo é uma função do comprimento $x$ do seu lado. Vamos supor que $x = t + 1$ é também uma função do tempo $t$. Encontre uma fórmula para $V$ como uma função de $t$.

    resposta
    $V(x) = x^{3}$ portanto $V(x(t)) = (t + 1)^{3}$

63. Suponha que um vendedor cobre $\$2$ por cachorro quente e que o número $x$ de cachorros quentes vendido por hora seja dado por $x(t) = -4t^2+20t+92$, onde $t$ é o número de horas desde as $10$ da manhã, $0 \leq t \leq 4$.

    1. Encontre uma expressão para a receita por hora $R$ como uma função de $x$.
    2. Encontre e simplifique $\left(R \circ x\right)(t)$. O que isso representa?
    3. Qual a receita por hora ao meio-dia?

    resposta

    1. $R(x) = 2x$

    2. $\left(R \circ x \right)(t) = -8t^2+40t+184$, $0 \leq t \leq 4$. Isso é a receita por hora como função do tempo.

    3. Meio-dia corresponde a $t=2$, portanto $\left(R \circ x \right)(2) = 232$. A receita horária ao meio-dia é $\$232$ por hora.