Funções Polinomiais e Racionais

14 Zeros de Polinômios

Nos exercícios 1 - 20, encontre os zeros reais do polinômio usando tentativa e erro e redução de grau. Determine também a multiplicidade de cada zero.

1. $f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6$

   resposta
   $f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6$
   $x = -2$, $x = 1$, $x = 3$ (cada um com mult. 1)
2. $f(x) = x^{4} + 2x^{3} - 12x^{2} - 40x - 32$

   resposta
   $f(x) = x^{4} + 2x^{3} - 12x^{2} - 40x - 32$
   $x = -2$ (mult. 3), $x = 4$ (mult. 1)

3. $f(x) = x^{4} - 9x^{2} - 4x + 12$

   resposta
   $f(x) = x^{4} - 9x^{2} - 4x + 12$
   $x = -2$ (mult. 2), $x = 1$ (mult. 1), $x = 3$ (mult. 1)
4. $f(x) = x^{3} + 4x^{2} - 11x + 6$

   resposta
   $f(x) = x^{3} + 4x^{2} - 11x + 6$
   $x = -6$ (mult. 1), $x = 1$ (mult. 2)

5. $f(x) = x^{3} - 7x^{2} + x - 7$

   resposta
   $f(x) = x^{3} - 7x^{2} + x - 7$
   $x = 7$ (mult. 1)
6. $f(x) = -2x^{3} + 19x^{2} - 49x + 20$

   resposta
   $f(x) = -2x^{3} + 19x^{2} - 49x + 20$
   $x = \frac{1}{2}$, $x = 4$, $x = 5$ (cada um com mult. 1)

7. $f(x) = -17x^{3} + 5x^{2} + 34x - 10$

   resposta
   $f(x) = -17x^{3} + 5x^{2} + 34x - 10$
   $x = \frac{5}{17}$, $x = \pm \sqrt{2}$ (cada um com mult. 1)
8. $f(x) = 36x^{4} - 12x^{3} - 11x^{2} + 2x + 1$

   resposta
   $f(x) = 36x^{4} - 12x^{3} - 11x^{2} + 2x + 1$
   $x = \frac{1}{2}$ (mult. 2), $x = -\frac{1}{3}$ (mult. 2)

9. $f(x) = 3x^{3} + 3x^{2} - 11x - 10$

   resposta
   $f(x) = 3x^{3} + 3x^{2} - 11x - 10$
   $x = -2$, $x = \frac{3 \pm \sqrt{69}}{6}$ (cada um com mult. 1)
10. $f(x) = 2x^4+x^3-7x^2-3x+3$

    resposta
    $f(x) = 2x^4+x^3-7x^2-3x+3$
    $x = -1$, $x = \frac{1}{2}$, $x=\pm \sqrt{3}$ (cada um com mult. 1)

11. $f(x) = 9x^{3} - 5x^{2} - x$

    resposta
    $f(x) = 9x^{3} - 5x^{2} - x$
    $x = 0$, $x = \frac{5 \pm \sqrt{61}}{18}$ (cada um com mult. 1)
12. $f(x) = 6x^{4} - 5x^{3} - 9x^{2}$

    resposta
    $f(x) = 6x^{4} - 5x^{3} - 9x^{2}$
    $x = 0$ (mult. 2), $x = \frac{5 \pm \sqrt{241}}{12}$ (cada um com mult. 1)

13. $f(x) = x^4+2x^2 - 15$

    resposta
    $f(x) = x^4+2x^2 - 15$
    $x = \pm \sqrt{3}$ (cada um com mult. 1)
14. $f(x) = x^4-9x^2+14$

    resposta
    $f(x) = x^4-9x^2+14$
    $x = \pm \sqrt{2}$, $x = \pm \sqrt{7}$ (cada um com mult. 1)

15. $f(x) = 3x^4-14x^2-5$

    resposta
    $f(x) = 3x^4-14x^2-5$
    $x = \pm \sqrt{5}$ (cada um com mult. 1)
16. $f(x) = 2x^4-7x^2+6$

    resposta
    $f(x) = 2x^4-7x^2+6$
    $x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$, $x = \pm \sqrt{2}$ (cada um com mult. 1)

17. $f(x) = x^6-3x^3-10$

    resposta
    $f(x) = x^6-3x^3-10$
    $x = \sqrt[3]{-2} = -\sqrt[3]{2}$, $x = \sqrt[3]{5}$ (cada um com mult. 1)
18. $f(x) = 2x^6-9x^3+10$

    resposta
    $f(x) = 2x^6-9x^3+10$
    $x =\frac{\sqrt[3]{20}}{2} $, $x = \sqrt[3]{2}$ (cada um com mult. 1)

19. $f(x) = x^5-2x^4-4x+8$

    resposta
    $f(x) = x^5-2x^4-4x+8$
    $x = 2$, $x = \pm \sqrt{2}$ (cada um com mult. 1)
20. $f(x) = 2x^5+3x^4-18x-27$

    resposta
    $f(x) = 2x^5+3x^4-18x-27$
    $x = -\frac{3}{2}$, $x = \pm \sqrt{3}$ (cada um com mult. 1)

Nos exercícios 21 - 23, use o GeoGebra para ajudá-lo a encontrar os zeros reais do polinômio dado. Determine a multiplicidade de cada zero real.

21. $f(x) = x^{5} - 60x^{3} - 80x^{2} + 960x + 2304$

    resposta
    $f(x) = x^{5} - 60x^{3} - 80x^{2} + 960x + 2304 $
    $x = -4$ (mult. 3), $x = 6$ (mult. 2)

22. $f(x) = 25x^{5} - 105x^{4} + 174x^{3} - 142x^{2} + 57x - 9$

    resposta
    $f(x) = 25x^{5} - 105x^{4} + 174x^{3} - 142x^{2} + 57x - 9$
    $x = \frac{3}{5}$ (mult. 2), $x = 1$ (mult. 3)

23. $f(x) = 90x^{4} - 399x^{3} + 622x^{2} - 399x + 90$

    resposta
    $f(x) = 90x^{4} - 399x^{3} + 622x^{2} - 399x + 90$
    $x = \frac{2}{3}$, $x = \frac{3}{2}$, $x = \frac{5}{3}$, $x = \frac{3}{5}$ (cada um com mult. 1)

24. Encontre os zeros reais de $f(x) = x^{3} - \frac{1}{12}x^{2} - \frac{7}{72}x + \frac{1}{72}$ primeiramente determinando um polinômio $q(x)$ com coeficientes inteiros tal que $q(x) = N \cdot f(x)$ para algum inteiro $N$.

    resposta
    Escolhemos $q(x) = 72x^{3} - 6x^{2} - 7x + 1 = 72 \cdot f(x)$. Os zeros reais de $f$ e $g$ são $x = -\frac{1}{3}, \; x = \frac{1}{6} \;$ e $x = \frac{1}{4}$.

Nos exercícios 25 - 34, resolva a inequação polinomial e expresse sua resposta usando notação de intervalo.

25. $-2x^{3} + 19x^{2} - 49x + 20 > 0$

    resposta
    $(-\infty, \frac{1}{2}) \cup (4, 5)$
26. $x^{4} - 9x^{2} \leq 4x - 12$

    resposta
    $\{-2\} \cup [1, 3]$

27. $(x - 1)^{2} \geq 4$

    resposta
    $(-\infty, -1] \cup [3, \infty)$

28. $4x^3 \geq 3x+1$

    resposta
    $\left\{ -\dfrac{1}{2} \right\} \cup [1, \infty)$

29. $x^4 \leq 16+4x-x^3$

    resposta
    $[-2,2]$
30. $3x^2 + 2x < x^4$

    resposta
    $\left(-\infty, -1 \right) \cup \left(-1, 0 \right) \cup (2, \infty)$

31. $\dfrac{x^3+2 x^2}{2} < x+2$

    resposta
    $(-\infty, -2) \cup \left(-\sqrt{2}, \sqrt{2} \right)$
32. $\dfrac{x^3+20x}{8} \geq x^2 + 2$

    resposta
    $\{2 \} \cup [4,\infty)$

33. $2x^4>5x^2+3$

    resposta
    $(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$
34. $x^6 + x^3 \geq 6$

    resposta
    $(-\infty, -\sqrt[3]{3}\,) \cup (\sqrt[3]{2}, \infty)$

35. No exercício 33 da Capítulo 12, determinamos o volume de uma caixa como sendo igual a $V(x) = 4x^3-44x^2+120x$, onde $x$ denota o comprimento do lado do quadrado que é removido dos cantos, com $0 < x < 5$. Resolva a inequação $V(x) \geq 80$ analiticamente e interprete sua resposta no contexto do exemplo.

    resposta
    $V(x) \geq 80$ em $[1,5-\sqrt{5}] \cup [5+\sqrt{5}, \infty)$. Apenas o intervalo $[1,5-\sqrt{5}]$ está no domínio, entretanto. No contexto do problema, isso significa que para o volume da caixa ser ao menos 80 polegadas cúbicas, o quadrado removido deve ter lado de ao menos uma polegada, mas não maior que $5-\sqrt{5} \approx 2.76$ polegadas.

36. No exercício 32 da Capítulo 12, $C(x) = .03x^{3} - 4.5x^{2} + 225x + 250$, para $x \geq 0$ modela o custo de se produzir consoles de jogos. Se o orçamento para produção é de $\$5000$, encontre o número de consoles que podem ser produzidos dentro do orçamento.

    resposta
    $C(x) \leq 5000$ em $(-\infty, 82.18]$ (aproximadamente). O intervalo contido no domínio é $(0,82.18]$. Uma vez que $x$ representa o número de consoles, verificamos $C(82) = 4983.04$ e $C(83) = 5078.11$, portanto para permanecer dentro do orçamento entre $1$ e $82$ consoles podem ser produzidos.

37. Seja $f(x) = 5x^{7} - 33x^{6} + 3x^{5} - 71x^{4} - 597x^{3} + 2097x^{2} - 1971x + 567$. Com a ajuda de seus colegas, encontre as interseções do gráfico de $f$ com os eixos $x$ e $y$. Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente e os extremos locais.