Fundamentos: Relações e Funções

4 Notação de Função

Nos exercícios 1 - 10, encontre uma expressão para $f(x)$ e determine seu domínio.

1. $f$ é uma função que toma um número real $x$ e efetua os três passos seguintes na ordem dada: (1) multiplica por 2; (2) soma 3; (3) divide por 4.

   resposta
   $f(x) = \frac{2x+3}{4}$
   domínio: $(-\infty, \infty)$

2. $f$ é uma função que toma um número real $x$ e efetua os três passos seguintes na ordem dada: (1) soma 3; (2) multiplica por 2; (3) divide por 4.

   resposta
   $f(x) = \frac{2(x+3)}{4} = \frac{x+3}{2}$
   domínio: $(-\infty, \infty)$

3. $f$ é uma função que toma um número real $x$ e efetua os três passos seguintes na ordem dada: (1) divide por 4; (2) soma 3; (3) multiplica por 2.

   resposta
   $f(x) = 2\left(\frac{x}{4} + 3\right) = \frac{1}{2} x + 6$
   domínio: $(-\infty, \infty)$

4. $f$ é uma função que toma um número real $x$ e efetua os três passos seguintes na ordem dada: (1) multiplica por 2; (2) soma 3; (3) toma a raiz quadrada.

   resposta
   $f(x) = \sqrt{2x+3}$
   domínio: $\left[ -\frac{3}{2}, \infty \right)$

5. $f$ é uma função que toma um número real $x$ e efetua os três passos seguintes na ordem dada: (1) soma 3; (2) multiplica por 2; (3) toma a raiz quadrada.

   resposta
   $f(x) = \sqrt{2(x+3)} = \sqrt{2x+6}$
   domínio: $[-3, \infty)$

6. $f$ é uma função que toma um número real $x$ e efetua os três passos seguintes na ordem dada: (1) soma 3; (2) toma a raiz quadrada; (3) multiplica por 2.

   resposta
   $f(x) = 2\sqrt{x+3}$
   domínio: $[-3, \infty)$

7. $f$ é uma função que toma um número real $x$ e efetua os três passos seguintes na ordem dada: (1) toma a raiz quadrada; (2) subtrai 13; (3) faz a quantidade o denominador de uma fração com numerador 4.

   resposta
   $f(x) = \frac{4}{\sqrt{x} - 13}$
   domínio: $[0, 169) \cup (169, \infty)$
8. $f$ é uma função que toma um número real $x$ e efetua os três passos seguintes na ordem dada: (1) subtrai 13; (2) toma a raiz quadrada; (3) faz a quantidade o denominador de uma fração com numerador 4.

   resposta
   $f(x) = \frac{4}{\sqrt{x - 13}}$
   domínio: $(13, \infty)$

9. $f$ é uma função que toma um número real $x$ e efetua os três passos seguintes na ordem dada: (1) toma a raiz quadrada; (2) faz a quantidade o denominador de uma fração com numerador 4; (3) subtrai 13.

   resposta
   $f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} - 13$
   domínio: $(0, \infty)$
10. $f$ é uma função que toma um número real $x$ e efetua os três passos seguintes na ordem dada: (1) faz a quantidade o denominador de uma fração com numerador 4; (2) toma a raiz quadrada; (3) subtrai 13.

    resposta
    $f(x) = \sqrt{\frac{4}{x}} - 13 = \frac{2}{\sqrt{x}} - 13$
    domínio: $(0, \infty)$

Nos exercícios 11 - 18, avalie a função $f$, simplificando o resultado:

• $f(3)$
• $f(-1)$
• $f\left(\frac{3}{2} \right)$

• $f(4x)$
• $4f(x)$
• $f(-x)$

• $f(x-4)$
• $f(x) - 4$
• $f\left(x^2\right)$

11. $f(x) = 2x+1$

    resposta
    Para $f(x) = 2x+1$

    • $f(3) = 7$
    • $f(-1) = -1$
    • $f\left(\frac{3}{2} \right) = 4$

    • $f(4x) = 8x+1$
    • $4f(x) = 8x+4$
    • $f(-x) = -2x+1$

    • $f(x-4) = 2x-7$
    • $f(x) - 4 = 2x-3$
    • $f\left(x^2\right) = 2x^2+1$

12. $f(x) = 3 - 4x$

    resposta
    Para $f(x) = 3-4x$

    • $f(3) = -9$
    • $f(-1) = 7$
    • $f\left(\frac{3}{2} \right) = -3$

    • $f(4x) = 3-16x$
    • $4f(x) = 12-16x$
    • $f(-x) = 4x+3$

    • $f(x-4) = 19-4x$
    • $f(x) - 4 = -4x-1$
    • $f\left(x^2\right) = 3-4x^2$

13. $f(x) = 2 - x^2$

    resposta
    Para $f(x) = 2 - x^2$

    • $f(3) = -7$
    • $f(-1) = 1$
    • $f\left(\frac{3}{2} \right) = -\frac{1}{4}$

    • $f(4x) = 2-16x^2$
    • $4f(x) = 8-4x^2$
    • $f(-x) = 2-x^2$

    • $f(x-4) = -x^2+8x-14$
    • $f(x) - 4 = -x^{2} - 2$
    • $f\left(x^2\right) = 2-x^4$

14. $f(x) = x^2 - 3x + 2$

    resposta
    Para $f(x) = x^2 - 3x + 2$

    • $f(3) = 2$
    • $f(-1) = 6$
    • $f\left(\frac{3}{2} \right) = -\frac{1}{4}$

    • $f(4x) = 16x^2-12x+2$
    • $4f(x) = 4x^2-12x+8$
    • $f(-x) = x^2+3x+2$

    • $f(x-4) = x^2-11x+30$
    • $f(x) - 4 = x^2-3x-2$
    • $f\left(x^2\right) = x^4-3x^2+2$

15. $f(x) = \dfrac{x}{x-1}$

    resposta
    Para $f(x) = \frac{x}{x-1}$

    • $f(3) = \frac{3}{2}$
    • $f(-1) = \frac{1}{2}$
    • $f\left(\frac{3}{2} \right) = 3$

    • $f(4x) = \frac{4x}{4x-1}$
    • $4f(x) = \frac{4x}{x-1}$
    • $f(-x) = \frac{x}{x+1}$

    • $f(x-4) = \frac{x-4}{x-5}$

    • $f(x) - 4 = \frac{x}{x-1} - 4$
      $\hphantom{f(x) - 4} = \frac{4-3x}{x-1}$

    • $f\left(x^2\right) = \frac{x^2}{x^2-1}$

16. $f(x) = \dfrac{2}{x^{3}}$

    resposta
    Para $f(x) = \frac{2}{x^3}$

    • $f(3) = \frac{2}{27}$
    • $f(-1) = -2$
    • $f\left(\frac{3}{2} \right) = \frac{16}{27}$

    • $f(4x) = \frac{1}{32x^3}$
    • $4f(x) = \frac{8}{x^3}$
    • $f(-x) = -\frac{2}{x^3}$

    • $f(x-4) = \frac{2}{(x-4)^3}$
      $=\frac{2}{x^3-12x^2+48x-64}$

    • $f(x) - 4 = \frac{2}{x^3} - 4$
      $\hphantom{f(x) - 4} = \frac{2-4x^3}{x^3}$

    • $f\left(x^2\right) = \frac{2}{x^6}$

17. $f(x) = 6$

    resposta
    Para $f(x) = 6$

    • $f(3) = 6$
    • $f(-1) =6$
    • $f\left(\frac{3}{2} \right) = 6$

    • $f(4x) = 6$
    • $4f(x) = 24$
    • $f(-x) = 6$

    • $f(x-4) = 6$

    • $f(x) - 4 = 2$

    • $f\left(x^2\right) = 6$

18. $f(x) = 0$

    resposta
    Para $f(x) = 0$

    • $f(3) = 0$
    • $f(-1) =0$
    • $f\left(\frac{3}{2} \right) = 0$

    • $f(4x) = 0$
    • $4f(x) = 0$
    • $f(-x) = 0$

    • $f(x-4) = 0$

    • $f(x) - 4 = -4$

    • $f\left(x^2\right) = 0$

Nos exercícios 19 - 26, avalie a função $f$, simplificando o resultado:

• $f(2)$
• $f(-2)$
• $f(2a)$

• $2 f(a)$
• $f(a+2)$
• $f(a) + f(2)$

• $f \left( \frac{2}{a} \right)$
• $\frac{f(a)}{2}$
• $f(a + h)$

19. $f(x) = 2x-5$

    resposta
    Para $f(x) = 2x-5$

    • $f(2) = -1$
    • $f(-2) = -9$
    • $f(2a) = 4a-5$

    • $2 f(a) = 4a-10$
    • $f(a+2) = 2a-1$
    • $f(a) + f(2) = 2a-6$

    • $f \left( \frac{2}{a} \right) = \frac{4}{a} - 5$
      $\hphantom{f \left( \frac{2}{a} \right)} = \frac{4-5a}{a}$

    • $\frac{f(a)}{2} =\frac{2a-5}{2}$

    • $f(a + h) = 2a + 2h - 5$

20. $f(x) = 5-2x$

    resposta
    Para $f(x) = 5-2x$

    • $f(2) = 1$
    • $f(-2) = 9$
    • $f(2a) = 5-4a$

    • $2 f(a) = 10-4a$
    • $f(a+2) = 1-2a$
    • $f(a) + f(2) = 6-2a$

    • $f \left( \frac{2}{a} \right) = 5 - \frac{4}{a}$
      $\hphantom{f \left( \frac{2}{a} \right)} = \frac{5a-4}{a}$

    • $\frac{f(a)}{2} = \frac{5-2a}{2}$

    • $f(a + h) = 5-2a-2h$

21. $f(x) = 2x^2 - 1$

    resposta
    Para $f(x) = 2x^2-1$

    • $f(2) = 7$
    • $f(-2) = 7$
    • $f(2a) = 8a^2-1$

    • $2 f(a) = 4a^2-2$
    • $f(a+2) = 2a^2+8a+7$
    • $f(a) + f(2) = 2a^2+6$

    • $f \left( \frac{2}{a} \right) = \frac{8}{a^2} - 1$
      $\hphantom{f \left( \frac{2}{a} \right)} = \frac{8-a^2}{a^2}$

    • $\frac{f(a)}{2} = \frac{2a^2-1}{2}$

    • $f(a + h) = 2a^2+4ah+2h^2-1$

22. $f(x) = 3x^2+3x-2$

    resposta
    Para $f(x) = 3x^2+3x-2$

    • $f(2) = 16$
    • $f(-2) = 4$
    • $f(2a) = 12a^2+6a-2$

    • $2 f(a) = 6a^2+6a-4$
    • $f(a+2) = 3a^2+15a+16$
    • $f(a) + f(2) = 3a^2+3a+14$

    • $f \left( \frac{2}{a} \right) = \frac{12}{a^2} + \frac{6}{a} - 2$
      $\hphantom{f \left( \frac{2}{a} \right)} = \frac{12+6a-2a^2}{a^2}$

    • $\frac{f(a)}{2} = \frac{3a^2+3a-2}{2}$

    • $f(a + h) = 3a^2 + 6ah + 3h^2+3a+3h-2$

23. $f(x) = \sqrt{2x+1}$

    resposta
    Para $f(x) = \sqrt{2x+1}$

    • $f(2) = \sqrt{5}$
    • $f(-2)$ não é real
    • $f(2a) = \sqrt{4a+1}$

    • $2 f(a) = 2\sqrt{2a+1}$
    • $f(a+2) = \sqrt{2a+5}$
    • $f(a) + f(2) =\sqrt{2a+1} + \sqrt{5}$

    • $f \left( \frac{2}{a} \right) = \sqrt{\frac{4}{a} + 1}$
      $\hphantom{f \left( \frac{2}{a} \right)} = \sqrt{\frac{a+4}{a}}$

    • $\frac{f(a)}{2} = \frac{\sqrt{2a+1}}{2}$

    • $f(a + h) = \sqrt{2a+2h+1}$

24. $f(x) = 117$

    resposta
    Para $f(x) = 117$

    • $f(2) = 117$
    • $f(-2) = 117$
    • $f(2a) = 117$

    • $2 f(a) = 234$
    • $f(a+2) = 117$
    • $f(a) + f(2) = 234$

    • $f \left( \frac{2}{a} \right) = 117$

    • $\frac{f(a)}{2} = \frac{117}{2}$

    • $f(a + h) = 117$

25. $f(x) = \dfrac{x}{2}$

    resposta
    Para $f(x) = \frac{x}{2}$

    • $f(2) = 1$
    • $f(-2) = -1$
    • $f(2a) = a$

    • $2 f(a) = a$

    • $f(a+2) = \frac{a+2}{2}$

    • $f(a) + f(2) = \frac{a}{2}+ 1$
      $\hphantom{f(a) + f(2)} = \frac{a+2}{2}$

    • $f \left( \frac{2}{a} \right) = \frac{1}{a}$

    • $\frac{f(a)}{2} = \frac{a}{4}$

    • $f(a + h) = \frac{a+h}{2}$

26. $f(x) = \dfrac{2}{x}$

    resposta
    Para $f(x) = \frac{2}{x}$

    • $f(2) = 1$
    • $f(-2) = -1$
    • $f(2a) = \frac{1}{a}$

    • $2 f(a) = \frac{4}{a}$
    • $f(a+2) = \frac{2}{a+2}$

    • $f(a) + f(2) = \frac{2}{a}+1$
      $\hphantom{f(a)+f(2)}=\frac{a+2}{2}$

    • $f \left( \frac{2}{a} \right) = a$

    • $\frac{f(a)}{2} = \frac{1}{a}$

    • $f(a + h) = \frac{2}{a+h}$

Nos exercícios 27 - 34, avalie $f(0)$ e resolva a equação $f(x) = 0$:

27. $f(x) = 2x - 1$

    resposta
    Para $f(x) = 2x-1$, $f(0) = -1$ e $f(x) = 0$ quando $x = \frac{1}{2}$

28. $f(x) = 3 - \frac{2}{5} x$

    resposta
    Para $f(x) = 3 - \frac{2}{5} x$, $f(0) = 3$ e $f(x) = 0$ quando $x = \frac{15}{2}$

29. $f(x) = 2x^2 - 6$

    resposta
    Para $f(x) = 2x^2-6$, $f(0) = -6$ e $f(x) = 0$ quando $x = \pm \sqrt{3}$

30. $f(x) = x^2 - x - 12$

    resposta
    Para $f(x) = x^2-x-12$, $f(0) = -12$ e $f(x) = 0$ quando $x = -3$ ou $x=4$

31. $f(x) = \sqrt{x+4}$

    resposta
    Para $f(x) = \sqrt{x+4}$, $f(0) = 2$ e $f(x) = 0$ quando $x =-4$

32. $f(x) = \sqrt{1-2x}$

    resposta
    Para $f(x) = \sqrt{1-2x}$, $f(0) = 1$ e $f(x) = 0$ quando $x = \frac{1}{2}$

33. $f(x) = \dfrac{3}{4-x}$

    resposta
    Para $f(x) = \frac{3}{4-x}$, $f(0) = \frac{3}{4}$ e $f(x)$ nunca é igual a $0$

34. $f(x) = \dfrac{3x^2-12x}{4-x^2}$

    resposta
    Para $f(x) = \frac{3x^2-12x}{4-x^2}$, $f(0) =0$ e $f(x) = 0$ quando $x=0$ ou $x=4$

35. Seja $f(x) = \left\{ \begin{array}{rr} x + 5, & x \leq -3 \\ \sqrt{9-x^2}, & -3 < x \leq 3 \\ -x+5, & x > 3 \\ \end{array} \right.$ Calcule o valor da função.

    1. $f(-4)$
    2. $f(-3)$
    3. $f(3)$

    1. $f(3.001)$
    2. $f(-3.001)$
    3. $f(2)$

    resposta

    1. $f(-4) = 1$
    2. $f(-3) = 2$
    3. $f(3) = 0$

    1. $f(3.001) = 1.999$
    2. $f(-3.001) = 1.999$
    3. $f(2) = \sqrt{5}$

36. Seja ${\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x^{2} & \text{ se } & x \leq -1\\ \sqrt{1 - x^{2}} & \text{ se } & -1 < x \leq 1\\ x & \text{ se } & x > 1 \end{array} \right. }$ Calcule o valor da função.

    1. $f(4)$
    2. $f(-3)$
    3. $f(1)$

    1. $f(0)$
    2. $f(-1)$
    3. $f(-0.999)$

    resposta

    1. $f(4) = 4$
    2. $f(-3) = 9$
    3. $f(1) = 0$

    1. $f(0) = 1$
    2. $f(-1) = 1$
    3. $f(-0.999) \approx 0.0447$

Nos exercícios 37 - 62, encontre o domínio implícito da função.

37. $f(x) = x^{4} - 13x^{3} + 56x^{2} - 19$

    resposta
    $(-\infty, \infty)$
38. $f(x) = x^2 + 4$

    resposta
    $(-\infty, \infty)$

39. $f(x) = \dfrac{x-2}{x+1}$

    resposta
    $(-\infty, -1) \cup (-1, \infty)$

40. $f(x) = \dfrac{3x}{x^2+x-2}$

    resposta
    $(-\infty,-2) \cup (-2,1) \cup (1, \infty)$

41. $f(x) = \dfrac{2x}{x^2+3}$

    resposta
    $(-\infty, \infty)$

42. $f(x) = \dfrac{2x}{x^2-3}$

    resposta
    $(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

43. $f(x) = \dfrac{x+4}{x^2 - 36}$

    resposta
    $(-\infty, -6) \cup (-6,6) \cup (6, \infty)$

44. $f(x) = \dfrac{x-2}{x-2}$

    resposta
    $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

45. $f(x) = \sqrt{3-x}$

    resposta
    $(-\infty, 3]$

46. $f(x) = \sqrt{2x+5}$

    resposta
    $\left[-\frac{5}{2}, \infty \right)$

47. $f(x) = 9x\sqrt{x+3}$

    resposta
    $[-3, \infty)$

48. $f(x) = \dfrac{\sqrt{7-x}}{x^2+1}$

    resposta
    $(-\infty, 7]$

49. $f(x) = \sqrt{6x-2}$

    resposta
    $\left[ \frac{1}{3}, \infty \right)$

50. $f(x) = \dfrac{6}{\sqrt{6x-2}}$

    resposta
    $\left( \frac{1}{3}, \infty \right)$

51. $f(x) = \sqrt[3]{6x-2}$

    resposta
    $(-\infty, \infty)$

52. $f(x) = \dfrac{6}{4 - \sqrt{6x-2}}$

    resposta
    $\left[ \frac{1}{3}, 3 \right) \cup (3, \infty)$

53. $f(x) = \dfrac{\sqrt{6x-2}}{x^2-36}$

    resposta
    $\left[ \frac{1}{3}, 6 \right) \cup (6, \infty)$

54. $f(x) = \dfrac{\sqrt[3]{6x-2}}{x^2+36}$

    resposta
    $(-\infty, \infty)$

55. $s(t) = \dfrac{t}{t - 8}$

    resposta
    $(-\infty, 8) \cup (8, \infty)$
56. $Q(r) = \dfrac{\sqrt{r}}{r - 8}$

    resposta
    $[0, 8) \cup (8, \infty)$

57. $b(\theta) = \dfrac{\theta}{\sqrt{\theta - 8}}$

    resposta
    $(8, \infty)$

58. $A(x) = \sqrt{x - 7} + \sqrt{9 - x}$

    resposta
    $[7, 9]$

59. $\alpha(y) = \sqrt[3]{\dfrac{y}{y - 8}}$

    resposta
    $(-\infty, 8) \cup (8, \infty)$

60. $g(v) = \dfrac{1}{4 - \dfrac{1}{v^{2}}}$

    resposta
    $\left( -\infty, -\frac{1}{2} \right) \cup \left( -\frac{1}{2}, 0 \right) \cup \left(0, \frac{1}{2} \right) \cup \left( \frac{1}{2}, \infty\right)$

61. $T(t) = \dfrac{\sqrt{t} - 8}{5-t}$

    resposta
    $[0, 5) \cup (5,\infty)$

62. $u(w) = \dfrac{w - 8}{5 - \sqrt{w}}$

    resposta
    $[0, 25) \cup (25, \infty)$

63. A área $A$ delimitada por um quadrado, em polegadas quadradas, é uma função do comprimento de um de seus lados $x$, quando medido em polegadas. Essa relação é expressa pela fórmula $A(x) = x^2$ para $x > 0$. Encontre $A(3)$ e resolva $A(x) = 36$. Interprete suas respostas. Por que $x$ está restrito a $x > 0$?

    resposta
    $A(3) = 9$, assim a área delimitada pelo quadrado com um lado de comprimento $3$ polegadas é $9$ polegadas quadradas. As soluções de $A(x) = 36$ são $x = \pm 6$. Uma vez que $x$ é restrito a $x > 0$, só mantemos $x = 6$. Isso significa que para a área delimitada pelo quadrado ser $36$ polegadas quadradas, o comprimento do lado precisa ser de $6$ polegadas. Uma vez que $x$ representa um comprimento, $x > 0$.

64. A área $A$ delimitada por um círculo, em metros quadrados, é uma função de seu raio $r$, quando medido em metros. Essa relação é expressa pela fórmula $A(r) = \pi r^2$ para $r > 0$. Encontre $A(2)$ e resolva $A(r) = 16\pi$. Interprete suas respostas. Por que $r$ está restrito a $r > 0$?

    resposta
    $A(2) = 4\pi$, assim a área delimitada por um círculo de raio $2$ metros é $4\pi$ metros quadrados. As soluções de $A(r) = 16\pi$ são $r = \pm 4$. Uma vez que $r$ é restrito a $r > 0$, só mantemos $r = 4$. Isso significa que para a área delimitada pelo círculo ser $16\pi$ metros quadrados, o raio precisa ter $4$ metros. Uma vez que $r$ representa um raio (um comprimento), $r > 0$.

65. O volume $V$ delimitado por um cubo, em centímetros cúbicos, é uma função do comprimento $x$ de um de seus lados, quando medido em centímetros. Essa relação é expressa pela fórmula $V(x) = x^3$ para $x > 0$. Encontre $V(5)$ e resolva $V(x) = 27$. Interprete suas respostas. Por que $x$ está restrito a $x > 0$?

    resposta
    $V(5) = 125$, assim o volume delimitado por um cubo com um lado de comprimento $5$ centímetros é $125$ centímetros cúbicos. A solução de $V(x) = 27$ é $x = 3$. Isso significa que para o volume delimitado pelo cubo ser $27$ centímetros cúbicos, o comprimento do lado precisa ser $3$ centímetros. Uma vez que $x$ representa um comprimento, $x > 0$.

66. O volume $V$ delimitado por uma esfera, em pés cúbicos, é uma função do raio $r$ da esfera, quando medido em pés. Essa relação é expressa pela fórmula $V(r) =\frac{4\pi}{3} r^{3}$ para $r > 0$. Encontre $V(3)$ e resolva $V(r) = \frac{32\pi}{3}$. Interprete suas respostas. Por que $r$ está restrito a $r > 0$?

    resposta
    $V(3) = 36\pi$, assim o volume delimitado por uma esfera com raio $3$ pés é $36\pi$ pés cúbicos. A solução de $V(r) = \frac{32\pi}{3}$ é $r = 2$. Isso significa que para o volume delimitado pela esfera ser $\frac{32\pi}{3}$ pés cúbicos, o raio precisa ser $2$ pés. Uma vez que $r$ representa um raio (um comprimento), $r > 0$.

67. A altura de um objeto solto do teto de um prédio de oito andares é modelada por: $h(t) = -16t^2 + 64$, $0 \leq t \leq 2$. Aqui, $h$ é a altura do objeto com relação ao solo, em pés, $t$ segundos após o objeto ser solto. Encontre $h(0)$ e resolva $h(t) = 0$. Interprete suas respostas. Por que $t$ está restrito a $0 \leq t \leq 2$?

    resposta
    $h(0) = 64$, portanto no momento da soltura, o objeto está a $64$ pés do solo. As soluções de $h(t) = 0$ são $t = \pm 2$. Uma vez que restringimos $0 \leq t \leq 2$, só mantemos $t = 2$. Isso significa que $2$ segundos após a soltura do objeto, ele está a $0$ pés do solo. De outra forma, o objeto toca o solo após $2$ segundos. A condição $0 \leq t \leq 2$ restringe o tempo para entre o momento da soltura do objeto e o momento que ele atinge o solo.

68. A temperatura $T$ em graus Fahrenheit $t$ horas após as 6 da manhã é dada por $T(t) = -\frac{1}{2} t^2 + 8t+3$ para $0 \leq t \leq 12$. Encontre e interprete $T(0)$, $T(6)$ e $T(12)$.

    resposta
    $T(0) = 3$, portanto às 6 da manhã ($0$ horas após as 6), está fazendo $3^{\circ}$ Fahrenheit. $T(6) = 33$, portanto ao meio-dia ($6$ horas após as 6), a temperatura é de $33^{\circ}$ Fahrenheit. $T(12) = 27$, portanto às 6 da tarde ($12$ horas após as 6), está fazendo $27^{\circ}$ Fahrenheit.

69. A função $C(x) = x^2-10x+27$ modela o custo, em centenas de dólares, para produzir $x$ milhares de canetas. Encontre e interprete $C(0)$, $C(2)$ e $C(5)$.

    resposta
    $C(0) = 27$, portanto custa $\$ 2700$ para fazer $0$ canetas^{*Esse é o `custo fixo'.} . $C(2) = 11$, portanto para fazer $2000$ canetas, custa $\$1100$. $C(5) = 2$, portanto para fazer $5000$ canetas, custa $\$200$.

70. Usando dados do Agência de Estatísticas de Transporte, a economia média de combustível $F$ em milhas por galão por passageiro nos EUA pode ser modelada por $F(t) = -0.0076t^2+0.45t + 16$, $0 \leq t \leq 28$, onde $t$ é o número de anos desde $1980$. Use sua calculadora para encontrar $F(0)$, $F(14)$ e $F(28)$. Arredonde suas respostas para duas casas decimais e interprete suas respostas.

    resposta
    $F(0) = 16.00$, portanto em 1980 ($0$ anos após 1980), a economia média de combustível por passageiro nos EUA foi de $16.00$ milhas por galão. $F(14) = 20.81$, portanto em 1994 ($14$ anos após 1980), a economia média foi de $20.81$ milhas por galão. $F(28) = 22.64$, portanto em 2008 ($28$ anos após 1980), a economia média foi de $22.64$ milhas por galão.

71. A população de mapinguaris do Amazonas pode ser modelada pela função $P(t) = \frac{150t}{t + 15}$, onde $t$ representa o número de anos desde 1803. Encontre e interprete $P(0)$ e $P(205)$. Discuta com seus colegas quais devem ser o domínio e a imagem de $P$.

    resposta
    $P(0) = 0$ o que significa que não havia mapinguaris no Amazonas em 1803 ($0$ anos após 1803). $P(205) = \frac{3075}{22} \approx 139.77$, portanto em 2008 ($205$ anos após 1803), havia entre 139 e 140 mapinguaris no Amazonas.

72. Para imprimir $n$ cópias do livro Eu e Meu Mapinguari, uma gráfica cobra $C(n)$ dólares, onde $C(n)$ é determinada pela fórmula \[{\displaystyle C(n) = \left\{ \begin{array}{rcl} 15n & \text{ se } & 1 \leq n \leq 25 \\ 13.50n & \text{ se } & 25 < n \leq 50 \\ 12n & \text{ se } & n > 50 \\ \end{array} \right. }\]

    1. Encontre e interprete $C(20)$.

    2. Quanto custa encomendar 50 cópias do livro? E 51 cópias?

    3. Sua resposta para 72 deve ter deixado você pensando. Suponha que uma livraria estima vender 50 cópias do livro. Quantos livros podem de fato ser encomendados pelo mesmo preço daquelas 50 cópias? (Arredonde sua resposta para um número inteiro de livros.)

    resposta

    1. $C(20) = 300$. Custa $\$300$ para 20 cópias do livro.

    2. $C(50) = 675$, portanto custa $\$ 675$ para 50 cópias do livro. $C(51) = 612$, portanto custa $\$ 612$ para 51 cópias do livro.

    3. $56$ livros.

73. Uma distribuidora de revistas em quadrinhos cobra seus custos de envio de acordo com a seguinte fórmula \[{\displaystyle S(n) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1.5 n + 2.5 & \text{ se } & 1 \leq n \leq 14 \\ 0 & \text{ se } & n \geq 15 \end{array} \right. }\]

    onde $n$ é o número de revistas compradas e $S(n)$ é o custo de envio em dólares.

    1. Qual o custo de se enviar 10 revistas?

    2. Qual o significado da fórmula $S(n) = 0$ para $n \geq 15$?

    resposta

    1. $S(10) = 17.5$, portanto custa $\$ 17.50$ para enviar 10 revistas.

    2. Existe envio grátis em pedidos acima de $15$ revistas.

74. O custo $C$ (em dólares) para falar $m$ minutos ao mês em um plano de celular é modelado por \[{\displaystyle C(m) = \left\{ \begin{array}{rcl} 25 & \text{ se } & 0 \leq m \leq 1000 \\ 25+0.1(m-1000) & \text{ se } & m > 1000 \end{array} \right. }\]

    1. Quanto custa falar $750$ minutos por mês?

    2. Quanto custa falar $20$ horas por mês?

    3. Explique os termos do plano verbalmente.

    resposta

    1. $C(750) = 25$, portanto custa $\$ 25$ para falar 750 minutos por mês nesse plano.

    2. Uma vez que $20 \, \text{horas} = 1200 \, \text{minutos}$, fazemos $m = 1200$ e temos que $C(1200) = 45$. Portanto custa $\$ 45$ para falar 20 horas por mês com esse plano.

    3. Custa $\$25$ até $1000$ minutos e $10$ centavos por minuto para cada minuto acima de $1000$ minutos.

75. Seja $\mathbb{Z} = \{ \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$ o conjunto dos números inteiros.^{*O uso da letra $\mathbb{Z}$ para inteiros vem da palavra zahlen que significa `números' em alemão.} A função piso inteiro de $x$, denotada por $\lfloor x \rfloor$, é definida como o maior inteiro $k$ com $k \leq x$.

    1. Encontre $\lfloor 0.785 \rfloor$, $\lfloor 117 \rfloor$, $\lfloor -2.001 \rfloor$, e $\lfloor \pi + 6 \rfloor$

    2. Discuta com seus colegas como $\lfloor x \rfloor$ pode ser descrito como uma função definida por várias sentenças.

       Dica: Existem infinitas sentenças!

    3. Sempre é verdade que $\lfloor a + b \rfloor = \lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor$? O que acontece se $a$ ou $b$ são inteiros? Teste alguns valores, faça uma conjectura e explique seu resultado.

    resposta

    1. $\lfloor 0.785 \rfloor = 0$, $\lfloor 117 \rfloor = 117$, $\lfloor -2.001 \rfloor = -3$, e $\lfloor \pi + 6 \rfloor = 9$

76. Tentamos convencê-los através de exemplos que $f(a + b) \neq f(a) + f(b)$ em geral. Nossa experiência é que os alunos se recusam a acreditar nisso, portanto vamos tentar outra vez usando uma abordagem diferente. Com ajuda de seus colegas, encontre uma função $f$ que satisfaz as seguintes propriedades:

    1. $f(0) = f(-1 + 1) = f(-1) + f(1)$
    2. $f(5) = f(2 + 3) = f(2) + f(3)$
    3. $f(-6) = f(0 - 6) = f(0) - f(6)$
    4. $f(a + b) = f(a) + f(b)\;$ sem importar os valores de $a$ e $b$.

    Quantas funções você encontra que não satisfazem as condições acima? $f(x) = x^{2}$ funciona? E $f(x) = \sqrt{x}$ ou $f(x) = 3x + 7$ ou $f(x) = \dfrac{1}{x}$? O que as funções que satisfazem a condição têm em comum? Deve haver algo, pois apenas uma família especial de funções realmente funciona. Voltamos assim ao fato anterior, $f(a + b) \neq f(a) + f(b)$ em geral.