Funções Polinomiais e Racionais

16 Equações e Inequações Racionais

Nos exercícios 1 - 6, resolva a equação racional. Verifique as soluções encontradas.

1. $\dfrac{x}{5x + 4} = 3$

   resposta
   $x = -\frac{6}{7}$
2. $\dfrac{3x - 1}{x^{2} + 1} = 1$

   resposta
   $x = 1, \; x = 2$

3. $\dfrac{1}{x + 3} + \dfrac{1}{x - 3} = \dfrac{x^{2} - 3}{x^{2} - 9}$

   resposta
   $x = -1$

4. $\dfrac{2x + 17}{x + 1} = x + 5$

   resposta
   $x = -6, \; x = 2$

5. $\dfrac{x^{2} - 2x + 1}{x^{3} + x^{2} - 2x} = 1$

   resposta
   Nenhuma solução
6. $\dfrac{-x^{3} + 4x}{x^{2} - 9} = 4x$

   resposta
   $x = 0, \; x = \pm 2\sqrt{2}$

Nos exercícios 7 - 20, resolva a inequação racional. Expresse sua resposta usando a notação de intervalo.

7. $\dfrac{1}{x + 2} \geq 0$

   resposta
   $(-2, \infty)$
8. $\dfrac{x - 3}{x + 2} \leq 0$

   resposta
   $(-2, 3]$

9. $\dfrac{x}{x^{2} - 1} > 0$

   resposta
   $(-1, 0) \cup (1, \infty)$

10. $\dfrac{4x}{x^2+4} \geq 0$

    resposta
    $[0, \infty)$

11. $\dfrac{x^2-x-12}{x^2+x-6} > 0$

    resposta
    $(-\infty, -3) \cup (-3,2) \cup (4, \infty)$
12. $\dfrac{3x^2-5x-2}{x^2-9} < 0$

    resposta
    $\left(-3, -\frac{1}{3} \right) \cup (2,3)$

13. $\dfrac{x^3+2x^2+x}{x^2-x-2} \geq 0$

    resposta
    $(-1,0] \cup (2, \infty)$
14. $\dfrac{x^{2} + 5x + 6}{x^{2} - 1} > 0$

    resposta
    $(-\infty, -3) \cup (-2, -1) \cup (1, \infty)$

15. $\dfrac{3x - 1}{x^{2} + 1} \leq 1$

    resposta
    $(-\infty, 1] \cup [2, \infty)$

16. $\dfrac{2x + 17}{x + 1} > x + 5$

    resposta
    $(-\infty, -6) \cup (-1, 2)$

17. $\dfrac{-x^{3} + 4x}{x^{2} - 9} \geq 4x$

    resposta
    $(-\infty, -3) \cup \left[-2\sqrt{2}, 0\right] \cup \left[2\sqrt{2}, 3\right)$
18. $\dfrac{1}{x^{2} + 1} < 0$

    resposta
    Nenhuma solução

19. $\dfrac{x^4-4x^3+x^2-2x-15}{x^3-4x^2} \geq x$

    resposta
    $[-3,0) \cup (0,4) \cup [5, \infty)$
20. $\dfrac{5x^3-12x^2+9x+10}{x^2-1}\geq 3x-1$

    resposta
    $\left(-1,-\frac{1}{2}\right] \cup (1, \infty)$

21. Carlos e Miguel iniciam uma corrida de três milhas ao mesmo tempo. Se Miguel corre a 6 milhas por hora e termina 10 minutos antes de Carlos, qual a velocidade de Carlos?

    resposta
    4.5 milhas por hora

22. Uma andorinha voa três quartos de milha a favor do vento, que sopra a seis milhas por hora, faz a volta e retorna exatamente 4 minutos depois. Qual a velocidade da andorinha, descontando-se a velocidade do vento?

    resposta
    24 milhas por hora

23. A fim de se remover a água de um porão, duas bombas que bombeiam a uma taxa de 40 galões por minuto são usadas. Após meia hora, uma bomba quebra e a outra continua funcionando por mais meia hora. Quantos galões de água foram removidos do porão?

    resposta
    3600 galões

24. Uma torneira pode encher um tanque em 5 minutos, enquanto um ralo esvazia o mesmo tanque em 8 minutos. Se a torneira e o ralo são abertos ao mesmo tempo com o tanque vazio, em quanto tempo o tanque encherá?

    resposta
    $\frac{40}{3} \approx 13.33$ minutos

25. Trabalhando juntos, Daniel e Paulo podem limpar um estábulo em 45 minutos. Sozinho, Daniel pode limpar em uma hora. Em quanto tempo Paulo limparia o estábulo sozinho?

    resposta
    3 horas

26. O custo para se fabricar consoles de jogos é dado pela função $C(x) = .03x^{3} - 4.5x^{2} + 225x + 250$, para $x \geq 0$. Use o GeoGebra para determinar o número de consoles que devem ser produzidos para se minimizar o custo médio $\overline{C}$.

    resposta
    O mínimo absoluto de $y=\overline{C}(x)$ ocorre em $\approx (75.73, 59.57)$. Como $x$ representa o número de consoles, testamos $\overline{C}(75) \approx 59.58$ e $\overline{C}(76) \approx 59.57$. Logo, para minimizar o custo médio, $76$ consoles devem ser produzidos a um custo de $\$59.57$ por console.

27. Queremos fazer uma caixa de base quadrada e sem tampa com $500$ centímetros cúbicos de volume. Modele a superfície lateral $S$ em função do lado $x$ da base e use o GeoGebra para estimar qual a superfície mínima possível.

    resposta
    A largura e a profundidade devem ser de $10.00$ centímetros e a altura, $5.00$ centímetros. A área da superfície mínima é de $300.00$ centímetros quadrados.

28. Uma caixa de cereal deve ter $140$ polegadas cúbicas. Por razões estéticas, a altura da caixa precisa ser $1.62$ vezes maior que a base. Use o GeoGebra para estimar as dimensões da caixa que minimizam a área da superfície. Qual é a superfície mínima?

    resposta
    A largura deve ser de $\approx 4.12$ polegadas, a altura, $\approx 6.67$ polegadas e a profundidade, $\approx 5.09$ polegadas; a área da superfície mínima é de $\approx 164.91$ polegadas quadradas.

29. Sara é a vizinha de Joãozinho do exercício 19 da Capítulo 10. Sara também quer plantar um jardim retangular ao lado de casa, mas ela não comprou o arame para cercar o jardim ainda. Como ela quer que o jardim tenha 100 pés quadrados, qual a menor quantidade de arame que ela precisa comprar? (Lembre que um dos lados do jardim fica colado à casa)

    resposta
    As dimensões são $\approx 7$ por $\approx 14$ pés; o mínimo de arame necessário é de $\approx 28$ pés.

30. Outro problema clássico: queremos fazer uma lata de formato cilíndrico para conter $33.6$ polegadas cúbicas.

    1. Encontre uma expressão para o volume $V$ da lata em termos da altura $h$ e do raio da base $r$.
    2. Encontre uma expressão para a área da superfície $S$ da lata em termos da altura $h$ e do raio da base$r$.
    3. Usando o fato que $V = 33.6$, escreva $S$ como uma função de $r$ e indique o domínio implícito .
    4. Use o GeoGebra para estimar as dimensões da lata que minimizam a superfície lateral.

    resposta

    1. $V = \pi r^{2}h$
    2. $S = 2 \pi r^{2} + 2\pi r h$

    1. $S(r) = 2\pi r^{2} + \frac{67.2}{r}, \;$ Domínio $r > 0$
    2. $r \approx 1.749\,$in. e $h \approx 3.498\,$in.

31. Um balde cilíndrico deve conter 7.35 pés cúbicos de líquido. Use o GeoGebra para estimar as dimensões da lata que minimizam a área da superfície da lata. Qual a área mínima?

    resposta
    O raio do balde deve ser de $\approx 1.05$ pés e a altura, $\approx 2.12$ pés. A área da superfície mínima é de $\approx 20.93$ pés cúbicos.

32. No exercício 71 da Capítulo 4, a população de mapinguaris do Amazonas foi modelada pela função $P(t) = \frac{150t}{t + 15}$, onde $t = 0$ representa o ano de 1803. Quando existiram menos de 100 no Amazonas?

    resposta
    $P(t) < 100$ em $(-15, 30)$, e a parte contida no domínio implícito é $[0,30)$. Como $t=0$ corresponde ao ano de 1803, de 1803 até o fim de 1832, existiam menos que 100 mapinguaris no Amazonas.

Nos exercícios 33 - 38, traduza o que segue em equações matemáticas.

33. Sob pressão constante, a temperatura $T$ de um gás ideal é diretamente proporcional a seu volume $V$. (Essa é a Lei de Charles)

    resposta
    $T = k V$

34. A frequência $f$ de uma onda é inversamente proporcional ao comprimento de onda $\lambda$.

    resposta
    ^{*O símbolo $\lambda$ é a letra grega minúscula `lambda.'} $f = \dfrac{k}{\lambda}$

35. A densidade $d$ de um material é diretamente proporcional à massa do objeto $m$ e inversamente proporcional a seu volume $V$.

    resposta
    $d = \dfrac{k m}{V}$

36. O quadrado do período orbital $P$ de um planeta é diretamente proporcional ao cubo do semieixo maior $a$ de sua órbita. (Essa é a Terceira Lei de Kepler do Movimento Planetário)

    resposta
    $P^2 = k a^3$

37. O arrasto $D$ de um objeto movendo-se através de um fluido varia juntamente com a densidade $\rho$ do fluido e com o quadrado da velocidade $\nu$ do objeto.

    resposta
    ^{*Os símbolos $\rho$ e $\nu$ são as letras gregas minúsculas `rô' e `ni,' respectivamente.} $D = k \rho \nu^2$

38. Suponha que duas cargas elétricas com cargas $q$ e $Q$, são posicionadas a $r$ unidades de distância. A força eletroestática $F$ exercida entre as cargas varia diretamente com o produto das cargas e inversamente com o quadrado da distância entre elas. (Essa é a Lei de Coulomb)

    resposta
    $F = \dfrac{kqQ}{r^2}$

39. De acordo com esta página da internet, a frequência $f$ de uma corda vibrante é dada por $f = \dfrac{1}{2L} \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}$ onde $T$ é a tensão, $\mu$ é densidade de massa por unidade de comprimento e $L$ é o comprimento da corda. Expresse essa relação usando a linguagem de variação.

    resposta
    Reescrevendo $f = \dfrac{1}{2L} \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}$ como $f = \dfrac{\frac{1}{2} \sqrt{T}}{L \sqrt{\mu}}$ vemos que a frequência $f$ varia diretamente com a raiz quadrada da tensão e inversamente com o comprimento e com a raiz quadrada da densidade de massa.

40. O Índice de Massa Corporal $B$ é diretamente proporcional ao peso $W$ e inversamente proporcional ao quadrado da altura $h$.

    1. Expresse essa relação como uma equação matemática.
    2. Se uma pessoa que tem $5$ pés e $10$ polegadas de altura e pesa 235 libras tem Índice de Massa Corporal 33.7, qual é a o valor da constante de proporcionalidade?
    3. Rescreva a equação matemática encontrada na parte 40 incluindo o valor da constante encontrada em 40 e então encontre o seu Índice de Massa Corporal.

    resposta
    1. $B = \dfrac{kW}{h^{2}}$
    2. $k = 702.68$
    3. $B = \dfrac{702.68W}{h^{2}}$

41. Sabemos que a circunferência de um círculo varia diretamente com seu raio com $2\pi$ como constante de proporcionalidade (isto é, $C = 2\pi r$). Com a ajuda de seus colegas, liste outras relações geométricas que podem ser expressas na linguagem de variação.