Fundamentos: Relações e Funções

3 Introdução à Funções

Resumo do capítulo

Uma função é uma relação especial, em que cada elemento do domínio está associado a exatamente um elemento da imagem. O capítulo apresenta o teste da reta vertical para reconhecer funções a partir de gráficos e pratica a determinação do domínio de uma função dada por uma fórmula, uma tabela ou um gráfico.

Nos exercícios 1 - 12, determine se a relação representa $y$ como uma função de $x$. Encontre o domínio e a imagem daquelas relações que são funções.

{$(-3, 9)$, $\;(-2, 4)$, $\;(-1, 1)$, $\;(0, 0)$, $\;(1, 1)$, $\;(2, 4)$, $\;(3, 9)\}$
resposta
Função
domínio = {$-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ ,$3$}
imagem = {$0$, $1$, $4$, $9$}
$\left\{ (-3,0), (1,6), (2, -3), (4,2), (-5,6), (4, -9), (6,2) \right\}$
resposta
Não é função
$\left\{ (-3,0), (-7,6), (5,5), (6,4), (4,9), (3,0) \right\}$
resposta
Função
domínio = $\left\{ -7, -3, 3, 4, 5, 6 \right\}$
imagem = $\left\{ 0,4,5,6,9 \right\}$
$\left\{ (1,2), (4,4), (9,6), (16,8), (25,10), (36, 12), \ldots \right\}$
resposta
Função
domínio = $\left\{ 1, 4, 9, 16, 25, 36, \ldots \right\} \\ = \left\{ x \, | \, \text{$x$ é um quadrado perfeito} \right\}$
imagem = $\left\{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, \ldots \right\} \\ = \left\{ y \, | \, \text{$y$ é um inteiro positivo par} \right\}$
{($x, y) \, | \, x$ é um inteiro ímpar e $y$ é um inteiro par}
resposta
Não é função
{$(x, 1) \, | \, x$ é um número irracional}
resposta
Função
domínio = {$x$ \, | \, $x$ é irracional}
imagem = {$1$}
{$(1, 0)$, $\;(2, 1)$, $\;(4, 2)$, $\;(8, 3)$, $\;(16, 4)$, $\;(32, 5), \;$ …}
resposta
Função
domínio = {$x$ \, | \, $x = 2^{n}$ para algum número inteiro $n$}
imagem = {$y$ \, | \, $y$ é um número inteiro qualquer }
{$\ldots, \; (-3, 9)$, $\;(-2, 4)$, $\;(-1, 1)$, $\;(0, 0)$, $\;(1, 1)$, $\;(2, 4)$, $\;(3, 9), \;$ …}
resposta
Função
domínio = {$x$ \, | \, $x$ é um inteiro qualquer}
imagem = {$y$ \, | \, $y = n^{2}$ para algum inteiro $n$}

$\{ (-2, y) \, | \, -3 < y < 4\}$
resposta
Não é função
$\{ (x,3) \, | \, -2 \leq x < 4\}$
resposta
Função
domínio = $[-2, 4)$, imagem = {$3$}

$\{ \left(x,x^2\right) \, | \, \text{$x$ é um número real} \}$
resposta
Função
domínio = $(-\infty, \infty)$
imagem = $[0,\infty)$
$\{ \left(x^2,x\right) \, | \, \text{$x$ é um número real} \}$
resposta
Não é função

Nos exercícios 13 - 32, determine se a relação representa $y$ como uma função de $x$. Encontre o domínio e a imagem daquelas relações que são funções.

$~$
resposta
Função
domínio = {$-4$, $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$}
imagem = {$-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$}
$~$
resposta
Não é função

$~$
resposta
Função
domínio = $(-\infty, \infty)$
imagem = $[1, \infty)$
$~$
resposta
Não é função

$~$
resposta
Função
domínio = $[2, \infty)$
imagem = $[0, \infty)$
$~$
resposta
Função
domínio = $(-\infty, \infty)$
imagem = $(0, 4]$

$~$
resposta
Não é função
$~$
resposta
Função
domínio = $[-5,-3) \cup(-3, 3)$
imagem = $(-2, -1) \cup [0, 4)$

$~$
resposta
Função
domínio = $[-2, \infty)$
imagem = $[-3, \infty)$
$~$

resposta
Não é função

$~$

resposta
Função
domínio = $[-5,4)$
imagem = $[-4,4)$
$~$

resposta
Função
domínio = $[0,3) \cup (3,6]$
imagem = $(-4,-1] \cup [0,4]$

$~$

resposta
Função
domínio = $(-\infty, \infty)$
imagem = $(-\infty, 4]$
$~$

resposta
Função
domínio = $(-\infty, \infty)$
imagem = $(-\infty, 4]$

$~$

resposta
Função
domínio = $[-2, \infty)$
imagem = $(-\infty, 3]$
$~$

resposta
Função
domínio = $(-\infty, \infty)$
imagem = $(-\infty, \infty)$

$~$

resposta
Função
domínio = $(-\infty, 0] \cup (1, \infty)$
imagem = $(-\infty, 1] \cup \{ 2\}$
$~$

resposta
Função
domínio = $[-3,3]$
imagem = $[-2,2]$

$~$

resposta
Não é função
$~$

resposta
Função
domínio = $(-\infty, \infty)$
imagem = $\{2\}$

Nos exercícios 33 - 47, determine se a equação representa $y$ como uma função de $x$.

$y = x^{3} - x$
resposta
Função
$y = \sqrt{x - 2}$
resposta
Função
$x^{3}y = -4$
resposta
Função

$x^{2} - y^{2} = 1$
resposta
Não é função
$y = \dfrac{x}{x^{2} - 9}$
resposta
Função
$x = -6$
resposta
Não é função

$x = y^2 + 4$
resposta
Não é função
$y = x^2 + 4$
resposta
Função
$x^2 + y^2 = 4$
resposta
Não é função

$y = \sqrt{4-x^2}$
resposta
Função
$x^2 - y^2 = 4$
resposta
Não é função
$x^3 + y^3 = 4$
resposta
Função

$2x + 3y = 4$
resposta
Função
$2xy = 4$
resposta
Função
$x^2 = y^2$
resposta
Não é função

Explique porque a população $P$ de mapinguaris em uma dada área é uma função do tempo $t$. Qual a imagem dessa função?
Explique porque a relação entre seus colegas e seus endereços de email pode não ser uma função. E se trocarmos email por CPF?

Nem sempre é possível isolar o $y$ em uma equação, mas isso não quer dizer que $y$ não é uma função de $x$. O que é necessário é dois pontos com a mesma coordenada $x$ e coordenadas $y$ diferentes que satisfaçam a equação, de modo que o gráfico falha no Teste da Reta Vertical (TRV). Discuta com seus colegas como encontrar tais pontos para as relações dadas nos exercícios 50 - 53.

$x^{3} + y^{3} - 3xy = 0$
$x^{4} = x^{2} + y^{2}$

$y^{2} = x^{3} + 3x^{2}$
$(x^{2} + y^{2})^{2} = x^{3} + y^{3}$