Funções Exponencial e Logarítmica

22 Equações e Inequações Exponenciais

Resumo do capítulo

O capítulo reúne as principais técnicas para resolver equações e inequações exponenciais: igualar bases, aplicar logaritmo a ambos os lados e, quando necessário, usar substituição para reduzir a equação a uma forma polinomial conhecida.

Nos Exercícios 1 - 33, resolva a equação analiticamente.

$2^{4x} = 8$
resposta
$x = \frac{3}{4}$
$3^{(x - 1)} = 27$
resposta
$x = 4$
$5^{2x-1} = 125$
resposta
$x=2$

$4^{2x} = \frac{1}{2}$
resposta
$x = -\frac{1}{4}$
$8^{x} = \frac{1}{128}$
resposta
$x = -\frac{7}{3}$
$2^{(x^{3} - x)} = 1$
resposta
$x = -1, \, 0, \, 1$

$3^{7x} = 81^{4-2x}$
resposta
$x = \frac{16}{15}$
$9 \cdot 3^{7x} = \left(\frac{1}{9}\right)^{2x}$
resposta
$x=-\frac{2}{11}$
$3^{2x} = 5$
resposta
$x = \frac{\ln(5)}{2\ln(3)}$

$5^{-x} = 2$
resposta
$x = -\frac{\ln(2)}{\ln(5)}$
$5^{x} = -2$
resposta
Sem solução.
$3^{(x - 1)} = 29$
resposta
$x = \frac{\ln(29) + \ln(3)}{\ln(3)}$

$(1.005)^{12x} = 3$
resposta
$x = \frac{\ln(3)}{12\ln(1.005)}$
$e^{-5730k} = \frac{1}{2}$
resposta
$k = \frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{-5730} = \frac{1}{5730} \ln(2)$
$2000e^{0.1t} = 4000$
resposta
$t=\frac{\ln(2)}{0.1} = 10\ln(2)$

$500\left(1-e^{2x}\right) = 250$
resposta
$x=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}\ln(2)$
$70 + 90e^{-0.1t} = 75$
resposta
$t = \frac{\ln\left(\frac{1}{18}\right)}{-0.1} =10 \ln(18)$
$30-6e^{-0.1x}=20$
resposta
$x=-10\ln\left(\frac{5}{3}\right) = 10\ln\left(\frac{3}{5}\right)$

$\dfrac{100e^{x}}{e^{x}+2}=50$
resposta
$x=\ln(2)$
$\dfrac{5000}{1+2e^{-3t}}=2500$
resposta
$t=\frac{1}{3}\ln(2)$
$\dfrac{150}{1 + 29e^{-0.8t}} = 75$
resposta
$t = \frac{\ln\left(\frac{1}{29}\right)}{-0.8} = \frac{5}{4}\ln(29)$

$25\left(\frac{4}{5}\right)^{x} = 10$
resposta
$x = \frac{\ln\left(\frac{2}{5}\right)}{\ln\left(\frac{4}{5}\right)} = \frac{\ln(2)-\ln(5)}{\ln(4) - \ln(5)}$
$e^{2x} = 2e^{x}$
resposta
$x = \ln(2)$
$7e^{2x} = 28e^{-6x}$
resposta
$x = -\frac{1}{8} \ln\left(\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}\ln(2)$

$3^{(x - 1)} = 2^{x}$
resposta
$x = \frac{\ln(3)}{\ln(3) - \ln(2)}$
$3^{(x - 1)} = \left(\frac{1}{2}\right)^{(x + 5)}$
resposta
$x = \frac{\ln(3) + 5\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(3) - \ln\left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{\ln(3)-5\ln(2)}{\ln(3)+\ln(2)}$
$7^{3+7x} = 3^{4-2x}$
resposta
$x = \frac{4 \ln(3) - 3 \ln(7)}{7 \ln(7) + 2 \ln(3)}$

$e^{2x} - 3e^{x}-10=0$
resposta
$x=\ln(5)$
$e^{2x} = e^{x}+6$
resposta
$x=\ln(3)$
$4^{x} + 2^{x} = 12$
resposta
$x=\frac{\ln(3)}{\ln(2)}$

$e^{x}-3e^{-x}=2$
resposta
$x=\ln(3)$
$e^{x}+15e^{-x}=8$
resposta
$x=\ln(3)$, $\ln(5)$
$3^{x}+25\cdot3^{-x}=10$
resposta
$x=\frac{\ln(5)}{\ln(3)}$

Nos Exercícios 34 - 39, resolva a inequação analiticamente.

$e^{x} > 53$
resposta
$(\ln(53), \infty)$
$1000\left(1.005\right)^{12t} \geq 3000$
resposta
$\left[\frac{\ln(3)}{12\ln(1.005)}, \infty\right)$

$2^{(x^{3} - x)} < 1$
resposta
$(-\infty, -1) \cup (0, 1)$
$25\left(\frac{4}{5}\right)^{x} \geq 10$
resposta
$\left(-\infty, \frac{\ln\left(\frac{2}{5}\right)}{\ln\left(\frac{4}{5}\right)} \right] = \left(-\infty, \frac{\ln(2)-\ln(5)}{\ln(4)-\ln(5)} \right]$

$\dfrac{150}{1 + 29e^{-0.8t}} \leq 130$
resposta
$\left(-\infty, \frac{\ln\left(\frac{2}{377}\right)}{-0.8} \right] = \left(-\infty, \frac{5}{4}\ln\left(\frac{377}{2}\right) \right]$
$\vphantom{\dfrac{150}{1 + 29e^{-0.8t}}} 70 + 90e^{-0.1t} \leq 75$
resposta
$\left[\frac{\ln\left(\frac{1}{18}\right)}{-0.1}, \infty\right) = [10\ln(18), \infty)$

Nos Exercícios 40 - 45, use o GeoGebra para ajudá-lo a resolver a equação ou inequação.

$2^{x} = x^2$
resposta
$x \approx -0.76666, \, x = 2, \, x = 4$
$e^{x} = \ln(x) + 5$
resposta
$x \approx 0.01866, \, x \approx 1.7115$
$e^{\sqrt{x}} = x + 1$
resposta
$x = 0$

$e^{-x} - xe^{-x} \geq 0$
resposta
$(-\infty, 1]$
$3^{(x - 1)} < 2^{x}$
resposta
$\approx (-\infty, 2.7095)$
$e^{x} < x^{3} - x$
resposta
$\approx (2.3217, 4.3717)$

Como $f(x) = \ln(x)$ é uma função estritamente crescente, se $0 < a < b$ então $\ln(a) < \ln(b)$. Use este fato para resolver a desigualdade $e^{(3x - 1)} > 6$ sem um diagrama de sinais. Utilize esta técnica para resolver as inequações nos Exercícios 34 - 39. (NOTA: Isole a função exponencial primeiro!)
resposta
$x > \frac{1}{3}(\ln(6) + 1)$
Calcule a inversa de $f(x) = \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2}$. Indique o domínio e a imagem de $f$ e $f^{-1}$.
resposta
$f^{-1} = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)$. Tanto $f$ quanto $f^{-1}$ têm domínio $(-\infty, \infty)$ e imagem $(-\infty, \infty)$.
Vamos mostrar rigorosamente que $f^{-1}(x) = \ln\left(\dfrac{x}{5-x}\right)$ é de fato a inversa de $f(x) = \dfrac{5e^{x}}{e^{x}+1}$.
1. Mostre que $\left(f^{-1} \circ f\right)(x) = x$ para todo $x$ no domínio de $f$ e que $\left(f \circ f^{-1 }\right)(x) = x$ para todo $x$ no domínio de $f^{-1}$.
2. Encontre a imagem de $f$ encontrando o domínio de $f^{-1}$.
3. Seja $g(x) = \dfrac{5x}{x+1}$ e $h(x) = e^{x}$. Mostre que $f = g \circ h$ e que $(g \circ h)^{-1} = h^{-1} \circ g^{-1}$. (Sabemos que isso é verdade em geral pelo Exercício 30 na Capítulo 18, mas é bom ver um exemplo específico da propriedade.)
Com a ajuda de seus colegas, resolva a inequação $e^{x} > x^{n}$ para uma variedade de números naturais $n$. O que você poderia conjecturar sobre a “velocidade” na qual $f(x) = e^{x}$ cresce em comparação com qualquer polinômio?