Funções Exponencial e Logarítmica

23 Equações e Inequações Logarítmicas

Resumo do capítulo

De forma simétrica ao capítulo anterior, aqui se resolvem equações e inequações logarítmicas aplicando a exponencial a ambos os lados ou condensando expressões com as propriedades do logaritmo, sempre conferindo ao final se as soluções obtidas respeitam o domínio do logaritmo original.

Nos Exercícios 1 - 24, resolva a equação analiticamente.

$\log(3x-1) = \log(4-x)$
resposta
$x = \frac{5}{4}$
$\log_{2}\left(x^{3}\right) = \log_{2}(x)$
resposta
$x = 1$

$\ln\left(8-x^2\right)=\ln(2-x)$
resposta
$x=-2$
$\log_{5}\left(18-x^2\right) = \log_{5}(6-x)$
resposta
$x=-3,\, 4$

$\log_{3}(7-2x) = 2$
resposta
$x=-1$
$\log_{\frac{1}{2}} (2x-1) = -3$
resposta
$x=\frac{9}{2}$

$\ln\left(x^2-99\right) = 0$
resposta
$x=\pm 10$
$\log(x^2-3x) = 1$
resposta
$x=-2,\, 5$

$\log_{125} \left(\dfrac{3x-2}{2x+3}\right)=\dfrac{1}{3}$
resposta
$x = -\frac{17}{7}$
$\log\left(\dfrac{x}{10^{-3}}\right) = 4.7$
resposta
$x = 10^{1.7}$

$-\log(x) = 5.4$
resposta
$x = 10^{-5.4}$
$10\log\left(\dfrac{x}{10^{-12}}\right) = 150$
resposta
$x = 10^{3}$

$6-3\log_{5}(2x)=0$
resposta
$x=\frac{25}{2}$
$3\ln(x)-2=1-\ln(x)$
resposta
$x=e^{3/4}$

$\log_{3}(x - 4) + \log_{3}(x + 4) = 2$
resposta
$x = 5$
$\log_{5}(2x + 1) + \log_{5}(x + 2) = 1$
resposta
$x = \frac{1}{2}$

$\log_{169}(3x + 7) - \log_{169}(5x - 9) = \dfrac{1}{2}$
resposta
$x = 2$
$\ln(x+1) - \ln(x) = 3$
resposta
$x = \frac{1}{e^3-1}$

$2\log_{7}(x) = \log_{7}(2) + \log_{7}(x+12)$
resposta
$x=6$
$\log(x) - \log(2) = \log(x+8) - \log(x+2)$
resposta
$x=4$

$\log_{3}(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x) + 8$
resposta
$x = 81$
$\ln(\ln(x)) = 3$
resposta
$x = e^{e^3}$

$\left(\log(x)\right)^2=2\log(x)+15$
resposta
$x=10^{-3}, \, 10^{5}$
$\ln(x^{2}) = (\ln(x))^{2}$
resposta
$x = 1, \, x = e^{2}$

Nos Exercícios 25 - 30, resolva a inequação analiticamente.

$\dfrac{1 - \ln(x)}{x^{2}} < 0$
resposta
$(e, \infty)$
$x\ln(x) - x > 0$
resposta
$(e, \infty)$

$10\log\left(\dfrac{x}{10^{-12}}\right) \geq 90$
resposta
$\left[10^{-3}, \infty \right)$
$5.6 \leq \log\left(\dfrac{x}{10^{-3}}\right) \leq 7.1$
resposta
$\left[10^{2.6}, 10^{4.1}\right]$

$2.3 < -\log(x) < 5.4$
resposta
$\left(10^{-5.4}, 10^{-2.3}\right)$
$\ln(x^{2}) \leq (\ln(x))^{2}$
resposta
$(0, 1] \cup [e^{2}, \infty)$

Nos Exercícios 31 - 34, use o GeoGebra para ajudá-lo a resolver a equação ou inequação.

$\ln(x) = e^{-x}$
resposta
$x \approx 1.3098$
$\ln(x) = \sqrt[4]{x}$
resposta
$x \approx 4.177, \, x \approx 5503.665$

$\ln(x^{2} + 1) \geq 5$
resposta
$\approx (-\infty, -12.1414) \cup (12.1414, \infty)$
$\ln(-2x^{3} - x^{2} + 13x - 6) < 0$
resposta
$\approx (-3.0281, -3) \cup (0.5, 0.5991) \cup (1.9299, 2)$

Como $f(x) = e^{x}$ é uma função estritamente crescente, se $a < b$ então $e^{a} < e^{b}$. Use este fato para resolver a inequação $\ln(2x + 1) < 3$ sem um diagrama de sinais. Use esta técnica para resolver as desigualdades nos Exercícios 27 - 29. (Compare isso com o exercício 46 na capítulo 22.)
resposta
$-\dfrac{1}{2} < x < \dfrac{e^{3} - 1}{2}$
Resolva $\ln(3 - y) - \ln(y) = 2x + \ln(5)$ para $y$.
resposta
$y = \dfrac{3}{5e^{2x} + 1}$
Vamos mostrar que $f^{-1}(x) = 10^{\frac{x}{x+1}}$ é de fato a inversa de $f(x) = \dfrac{\log(x)}{1-\log(x)}$.
1. Mostre que $\left(f^{-1} \circ f\right)(x) = x$ para todo $x$ no domínio de $f$ e que $\left(f \circ f^{ -1}\right)(x) = x$ para todo $x$ no domínio de $f^{-1}$.
2. Encontre a imagem de $f$ encontrando o domínio de $f^{-1}$.
3. Seja $g(x) = \dfrac{x}{1 - x}$ e $h(x) = \log(x)$. Mostre que $f = g \circ h$ e $(g \circ h)^{-1} = h^{-1} \circ g^{-1}$.
  (Sabemos que isso é verdade em geral pelo Exercício 30 na Capítulo 18, mas é bom ver um exemplo específico da propriedade.)
Seja $f(x) = \dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1 + x}{1 - x}\right)$. Calcule $f^{-1}(x)$ e encontre seu domínio e imagem.
resposta
$f^{-1}(x) = \dfrac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} = \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$. O domínio de $f^{-1}$ é $(-\infty, \infty)$ e sua imagem é igual ao domínio de $f$, ou seja, $(-1, 1)$.
Explique a equação no Exercício 10 e a desigualdade no Exercício 28 acima em termos da escala Richter para magnitude do terremoto. (Veja o exercício 75 na capítulo 20.)
Explique a equação no Exercício 12 e a desigualdade no Exercício 12 acima em termos do nível de intensidade sonora medido em decibéis. (Veja o exercício 76 na capítulo 20.)
Explique a equação no Exercício 11 e a desigualdade no Exercício 29 acima em termos do pH de uma solução. (Veja o exercício 77 na capítulo 20.)
Com a ajuda de seus colegas, resolva a inequação $\sqrt[n]{x} > \ln(x)$ para uma variedade de números naturais $n$. O que você poderia conjecturar sobre a “velocidade” na qual $f(x) = \ln(x)$ cresce em comparação com qualquer função raiz $n$-ésima?